inverse Dreiecksungleichung

17.11.2010, 22:44

Klocke

inverse Dreiecksungleichung

Meine Frage:
Hallo. Ich soll die "umgekehrte Dreiecksungleichung" beweisen.
$\begin{eqnarray*} ||a| - |b|| \leq |a - b|; \; a, \, b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dazu soll ich: $\begin{eqnarray*} a = a + b - b \end{eqnarray*}$ verwenden.

Meine Ideen:
Ich weiß leider überhaupt nicht ob mein Ansatz so ok ist:

$\begin{eqnarray*} ||a| - |b|| \leq |a - b| < + |b| > \Rightarrow ||a| - |b| + |b|| \leq |a - b + |b|| < |a| - |b| + |b| = |a| > \Rightarrow |a| \leq |a - b + |b|| < a = a - b + b > \Rightarrow |a - b + b| \leq |a - b + |b|| < |a - b| \; eliminieren > \Rightarrow b \leq |b| b \geq 0 \Rightarrow b = |b| b < 0 \Rightarrow b < |b| \end{eqnarray*}$

18.11.2010, 01:43

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Das ist ein ganz doofer Trick. Mathematiker fügen gerne eine Null ein.

$\begin{eqnarray*} |a|=|a-0|= ? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dazu soll ich: $\begin{eqnarray*} a = a + b - b \end{eqnarray*}$ verwenden.

Das führt man Ende auf

$\begin{eqnarray*} |a|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$ (*)

Dann mal überlegen, warum (*) symmetrisch in a und b ist und man dann auch den Betrag um die linke Seite machen kann.

18.11.2010, 12:05

Klocke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Danke für die Antwort.

Mittlerweile habe ich herausgefunden, dass eine Fallunterscheidung auf
1. $\begin{eqnarray*} |a| \geq |b| \Rightarrow ||a| - |b|| = |a| - |b| \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} |a| < |b| \Rightarrow ||a| - |b|| = |b| - |a| \end{eqnarray*}$
für jeweils den linken Teilterm führt.

Dieses kann man zum Beispiel im ersten Fall auf
$\begin{eqnarray*} |a| = |a-b| + |b| \end{eqnarray*}$
führen und durch erneute Fallunterscheidung:
z.B. $\begin{eqnarray*} a, \; b \geq 0 \Rightarrow (|a| = a) \wedge (|b| = b) \Rightarrow a \leq a - b + b = a \end{eqnarray*}$
für jeden Fall beweisen.

Ich frage mich nun ob das schon des Rätsels Lösung war oder ob es noch einfacher geht.

18.11.2010, 14:52

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Ich schrieb doch, wie es einfahcer geht. Deine "=" Zeile sieht mir auf die schnelle gefährlich aus.

18.11.2010, 20:22

Klocke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Ja, das sollte
$\begin{eqnarray*} |a| \leq |a-b| + |b| \end{eqnarray*}$
heißen, Schreibfehler...

Ich hab mir das jetzt noch zig mal genau angeschaut und durch den Kopf gehn lassen.
Leider kapier ichs nicht. Vorallem weiß ich nicht was mit Symmetrie in diesem Fall gemeint sein soll...
Tut mir Leid, aber bin in Mathe nicht die große Leuchte. Mein Ziel ist nur irgendwie die Prüfung zu bestehn in dieser Vorlesung Augenzwinkern

18.11.2010, 20:56

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

, wenn du hier schon abspackst, wie willst du theoretisch info überstehen :o

18.11.2010, 21:06

Klocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Big Laugh , wenn du hier schon abspackst, wie willst du theoretisch info überstehen :o

Autsch.

Ja, ich mach die Vorlesung zum zweiten mal:-(
Ich bin überall ganz gut eigentlich außer den Dingen die mit Mathe was zu tun haben...
Das motiviert einen jetzt natürlicht total unglücklich

Und dabei meinen alle immer Mathe wär nur Übung...

18.11.2010, 23:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

@allahahbarpingok

Toller Beitrag! So was will ich hier nicht noch mal lesen! Lehrer

@Klocke

Mach bitte ein Mal den von mir vorgeschlagenen Weg. Da benutzt man nur die Dreiecksungleichung. Dann schauen wir uns die Symmetrie an.

18.11.2010, 23:56

Klocke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dreiecksungleichung
Zu zeigen ist, dass die umgekehrte Dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} ||a| - |b|| \leq |a - b|; \; a, \, b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
gilt.

Sei $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} ||a|-|b|| = |a|-|b| \end{eqnarray*}$ .
Somit ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |a|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < a = a - b + b > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a - b + b|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < +|b| > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a - b + b| \leq |a-b| + |b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < x:= a - b > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x + b| \leq |x| + |b| \end{eqnarray*}$

Das gilt nach Def. der Dreiecksungleichung.

Sei $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} ||a|-|b|| = |b|-|a| \end{eqnarray*}$ .
Somit ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |b|-|a| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b - a + a | -|a| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < rechts: - |a| + |a| > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b - a + a | -|a| \leq |a-b| + |a| - |a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <|a - b| = |b - a |> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b - a + a | -|a| \leq |b - a| + |a| - |a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < + |a| > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |b - a + a | \leq |b - a| + |a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow < x:= b - a > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x + a| \leq |x| + |a| \end{eqnarray*}$

Das gilt auch nach Def. der Dreiecksungleichung. q.e.d. LOL Hammer

Danke an Tigerbiene. Hat zwar ne Ewigkeit gebraucht bis ich das verstanden habe aber umso glücklicher bin ich jetzt darüber.(hoffentlich stimmt das auch Big Laugh

)

19.11.2010, 00:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie beherzigst du meinen hinweis nicht so ganz. Nach Dreiecksungleichung mit dem Nulltrick gilt:

$\begin{eqnarray*} |a|=|a-0|= |a-b+b| \leq |a-b| + |b| \end{eqnarray*}$

Umgestellt also

$\begin{eqnarray*} |a|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

Wegen dem geforderten Betrag muss noch nachgewiesen werden, dass auch gilt:

$\begin{eqnarray*} -|a|+|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

Machen wir den analogen Ansatz

$\begin{eqnarray*} |b|=|b-0|= |b-a+a| \leq |b-a| + |a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |b|-|a| \leq |b-a| \end{eqnarray*}$

Nun sollst du die Symmetrie ins Spiel bringen. Das ist nur noch ein Schritt.

OffTopic:, was sollen <> bedeuten?

19.11.2010, 13:08

Klocke

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Dein Weg ist ja im Prinzip ziemlich der gleiche wie in meinem letzten Post, nur eben von der anderen Seite aufgerollt, was glaube ich auch noch besser ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |a|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} |b|-|a| \leq |b-a| \end{eqnarray*}$
Nun sollst du die Symmetrie ins Spiel bringen. Das ist nur noch ein Schritt.

Ich glaube Du meinst mit der Symmetrie dass
$\begin{eqnarray*} ||a| - |b|| = ||b| - |a|| \end{eqnarray*}$ .
Das gilt, weil dieser Ausdruck den Abstand zwischen a und b ergibt und dieser bleibt immer gleich. Deshalb kann man analog zu beiden gezeigten Fällen $\begin{eqnarray*} ||a| - |b|| \leq |a - b| \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zitat:

OffTopic:, was sollen <> bedeuten?

Diese Schreibweise entstammt aus einem Buch von David Gries und Fred B. Schneider: A Logical Approach To Discrete Math.
Der Grund dafür wird so angegeben:

Zitat:

Mathematics provides methods for reasoning: for manipulating expressions, for proving properties from and about expressions, and for obtaining new results from known ones. This reasoning can be done without knowing or caring what the symbols being manipulated mean.

Es ist dadurch also egal, ob jemand den Sinn hinter einer Umformung verstanden hat, oder nicht, er kann dennoch den Beweis nachvollziehen, weil die Schablone(also die Regel, auf die referenziert wird) angegeben ist. Es ist also nur notwendig die Schablone einzusetzen und zu schauen, ob sie passt.
Die <>- Zeichen sind eigentlich in dem Buch nicht so spitzwinklig sondern eher weiter, also eher wie eine andere Art von Klammern. Den Latex- Ausdruck dafür kenne ich aber nicht. Ebenso wollte ich statt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ eigentlich <=> schreiben, um zu betonen, dass es sich um eine Äquivalenzumformung handelte, kannte aber auch dafür nicht den Ausdruck. In meiner Info- Vorlesung wird diese Notation als Dijkstra - Notation bezeichnet, nur dass dort geschweifte Klammern für die Kommentare verwendet werden. Ob die Notation wirklich offiziell so heißt, weiß ich nicht.

19.11.2010, 13:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich meine einfach nur $\begin{eqnarray*} |b-a| = |a-b| \end{eqnarray*}$ , und damit erhalte ich im letzten Schritt doch das gewünschte. Es gilt also++

$\begin{eqnarray*} |a|-|b| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |b|-|a| \leq |b-a| = |a-b| \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} ||a|-|b|| \leq |a-b| \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 18:08

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Sache, wenn wir beide Teile einfach Qaudrieren, dann ist der Beweis doch viel einfacher. Am Ende steht ein kleiner Term da, den wir über Fallunterscheidung Beweisen können und fertig.

21.11.2010, 19:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus a< v folgt aber nicht immer a² < b².

Ich verstehe nicht, was an dem von mir vorgeschlagenen Weg kompliziert ist.

22.11.2010, 01:11

Bruh

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, aber da wir hier mit beträgen arbeiten, die immer positiv sind, kann man hier getrostlos quadrieren und die betragstriche dann weglassen.

Neue Frage »

Antworten »

inverse Dreiecksungleichung

Verwandte Themen