Gruppe

15.11.2006, 18:32

chris85

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Gruppe

Se $\begin{eqnarray*} i (G,T) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ . Zeige: Es existiert genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} aTx = b \end{eqnarray*}$ und genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} y \in G \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} yTa =b \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das zeigen?Hab mir mal überlegt dass es vllt mit den Inversen zusammenhängen könnte aber da fällt mir auch nicht ein wie ich es aufschreiben könnte. Hat jemand Vorschläge?

15.11.2006, 18:48

Mathespezialschüler

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Ja, es hängt mit dem Inversen zusammen. Verknüpfe bei der ersten Gleichung mal beide Seiten von links mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ , dann siehst du, was die Lösung ist (das ist aber weder ein Beweis dafür, dass es eine Lösung ist, noch dafür, dass es die einzige ist).

Gruß MSS

15.11.2006, 19:58

chris85

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also: $\begin{eqnarray*} (aTx)Ta^-1 = b \end{eqnarray*}$

meinst du so?

15.11.2006, 20:02

Mathespezialschüler

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Wenn du auf der linken Seite mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ verknüpfst, musst du es natürlich auf der rechten Seite auch tun! Ich meinte mit "von links verknüpfen" folgendes: Wenn $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ gilt und ich verknüpfe diese Gleichung von links mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , dann ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} p\circ m=p\circ n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 21:10

chris85

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versteh ich nicht mehr, kannst du es mal auf mein beispiel bezogen zeigen?

15.11.2006, 21:21

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} a^{-1}\circ (a\circ x)=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

PS: Wer hat euch diese besch... Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ beigebracht?

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15.11.2006, 21:24

tar

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} a^{-1}\circ (a\circ x)=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

PS: Wer hat euch diese besch... Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ beigebracht?

$\begin{eqnarray*} a \circ x = b => a^{-1} \circ a \circ x = a^{-1} \circ b = e \circ x = x \end{eqnarray*}$ so ca?

15.11.2006, 21:28

Mathespezialschüler

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Ja, sehr gut! Du hast jetzt folgendes gezeigt: Wenn $\begin{eqnarray*} a\circ x=b \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt $\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ . Jetzt sollte man nur noch die Reihenfolge ordnen:

$\begin{eqnarray*} x=e\circ x=(a^{-1}\circ a)\circ x=a^{-1}\circ (a\circ x)=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du noch zeigen, dass gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt $\begin{eqnarray*} a\circ x=b \end{eqnarray*}$ . Wenn du das hast, hast du sowohl Eindeutigkeit als auch Existenz der Lösung bewiesen.

Gruß MSS

15.11.2006, 21:33

tar

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, sehr gut! Du hast jetzt folgendes gezeigt: Wenn $\begin{eqnarray*} a\circ x=b \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt $\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ . Jetzt sollte man nur noch die Reihenfolge ordnen:

$\begin{eqnarray*} x=e\circ x=(a^{-1}\circ a)\circ x=a^{-1}\circ (a\circ x)=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du noch zeigen, dass gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt $\begin{eqnarray*} a\circ x=b \end{eqnarray*}$ . Wenn du das hast, hast du sowohl Eindeutigkeit als auch Existenz der Lösung bewiesen.

Gruß MSS

also:
Aus $\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b => a \circ x = b = a \circ (a^{-1} \circ b) = (a \circ a^{-1}) \circ b = e \circ b =b \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2006, 21:57

chris85

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das müsste so stimmen, hab ich auch als ergebnis raus bekommen!

15.11.2006, 22:24

Mathespezialschüler

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Jap, ist korrekt, wobei die Reihenfolge folgendermaßen wieder besser wäre:

$\begin{eqnarray*} x=a^{-1}\circ b\Rightarrow a\circ x=a\circ (a^{-1}\circ b)=(a\circ a^{-1})\circ b=e\circ b=b \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 22:29

tar

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gut, danke für die hilfe smile

smile

15.11.2006, 22:35

chris85

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Wenn man das ganze dann noch für genau ein y beweist ist doch die Aufgabe gelöst oder?

hab jetzt nur mal den Rückweg gemacht!
Für genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} y\in G \end{eqnarray*}$
Rückweg:

$\begin{eqnarray*} y=a^{-1}\circ b => y \circ a = b = a \circ (a^{-1} \circ b) = (a \circ a^{-1}) \circ b = e \circ b =b \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

15.11.2006, 22:44

Mathespezialschüler

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Nein, das stimmt so nicht, weil du die Kommutativität benutzt hast. Die muss aber nicht vorliegen. $\begin{eqnarray*} y=a^{-1}\circ b \end{eqnarray*}$ ist hier falsch! Richtig ist $\begin{eqnarray*} y=b\circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ . Versuche es damit noch einmal und probiere auch mal, die Reihenfolge zu benutzen, die ich auch verwandt habe.

Gruß MSS

15.11.2006, 23:06

chris85

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$\begin{eqnarray*} b = e\circ b => (a^{-1} \circ a)\circ b = a \circ ( b\circ a^{-1}) = y\circ a \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es doch aber stimmen, oder? Falls nicht, könntest du es dann bitte verbessern?

15.11.2006, 23:33

Mathespezialschüler

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Nein, du hast wieder kommutiert. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} y\circ a=(b\circ a^{-1})\circ a=b\circ (a^{-1}\circ a)=b\circ e=b \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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