Eigenwerte+Summe v. Matrizen

18.11.2010, 18:34

ghijkll

Eigenwerte+Summe v. Matrizen

Hi Leute,
es ist doch richtig, dass sich die Eigenwerte der Summe zweier symmetrischer Matrizen S1+S2 nicht aus der Summe der EWe der Einzelmatrizen zusammensetzen, oder?
Habe mir überlegt, dass S1 und S2 ja i.a. nicht dieselben Eigenvektoren haben.
Gruß

19.11.2010, 14:53

Reksilat

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Dass die Eigenvektoren im allgemeinen unterschiedlich sind, ist noch keine Begründung. Solche Aussagen kann man am besten durch ein konkretes Gegenbeispiel widerlegen.

Einen allgemeinen Gegenbeweis wird man nicht angeben könne, da die Aussage ja eben auch für manche Matrizen stimmt.

Gruß,
Reksilat.

19.11.2010, 16:05

ghijkll

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Wollte ja auch nur sichergehen, dass das im allgemeinen nicht richtig ist, aber ok, habe mir gerade ein Gegenbeispiel mit Matlab berechnen lassen, danke.

20.11.2010, 01:13

ghijkll

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Habe doch nochmal eine Frage:
Wenn ich die Summe zweier symmetrischer Matrizen M:=S1+S2 diagonalisiere, d.h. Q(S1+S2)Q^T=QMQ^T=D mit einer orthogonalen Matrix Q, hat man dann irgendeine Chance, etwas über die Eigenwerte oder auch Singulärwerte von M auszusagen, z.B. wie sie aussehen/welche Eigenschaften sie haben müssen? Sehe im Moment keine Möglichkeit, aber vielleicht hat jemand von Euch 'ne Idee,
Gruss

20.11.2010, 14:35

Reksilat

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Wenn Du M diagonalisierst, stehen die Eigenwerte von M auf der Diagonalen. Was haben aber S1 und S2 damit zu tun? Irgendwie verstehe ich nicht, worauf Du hinauswillst.

20.11.2010, 18:02

ghijkll

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Ich möchte das gern allgemein machen, d.h., ich weiß über die Matrizen nur, dass sie symmetr. sind und meinetwegen pos. definit. Sicher habe ich dann die EWe von M auf der diag, aber kann man über das Diagonalisieren irgendeinen Bezug von M zu den EWen von S1 und S2 herstellen oder umgekehrt von S1 und S2 zu M, dass man etwas über ihr Aussehen sagen kann? Ich wüßte im Moment nicht, wie die zusammenhängen, und wahrscheinlich ist es ja auch nicht möglich. Ist z.B. S2=c*I mit Konstante c und s1 EW von S1, dann weiß man ja, dass s1+c EW von M ist...aber für bel. Matrizen S2 ist es wahrsch. nicht möglich?

20.11.2010, 21:00

Reksilat

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Ich sehe jetzt spontan keinen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten. Außer natürlich, dass ein Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ existiert, der Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und zudem EV von $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist.

21.11.2010, 00:36

ghijkll

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen
Ein v alleine bringt mir nix, wenn, dann müsste es schon 'ne (ON)Basis des R^n aus v_i sein...

13.05.2013, 22:38

Scoobay

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen

Zitat:

Original von Reksilat
Ich sehe jetzt spontan keinen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten. Außer natürlich, dass ein Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ existiert, der Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und zudem EV von $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Kannst du das genauer erläutern? Gibt es demnach eine Matrix U aus Eigenvektoren, sodass gilt
$\begin{eqnarray*} S_1 = U diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_R) U^T = U diag(\lambda'_1, \ldots, \lambda'_R) U^T = S_2 \end{eqnarray*}$
Wobei die Lambdas die entsprechenden Eigenwerte sind und U die Matizen mit den angesprochenen Eigenvektoren?

14.05.2013, 10:06

Reksilat

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RE: Eigenwerte+Summe v. Matrizen

Zitat:

Original von Scoobay
Kannst du das genauer erläutern? Gibt es demnach eine Matrix U aus Eigenvektoren, sodass gilt
$\begin{eqnarray*} S_1 = U diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_R) U^T = U diag(\lambda'_1, \ldots, \lambda'_R) U^T = S_2 \end{eqnarray*}$

Dort steht $\begin{eqnarray*} S_1=S_2 \end{eqnarray*}$ . Das ist für beliebige symmetrische Matrizen im Allgemeinen falsch und insofern kann die Aussage nicht stimmen!

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