beliebige gruppen

18.11.2010, 21:08

lilly-maus

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Meine Frage:
Hallo,
ich sitze gerade vor meinem Übungsblatt in linearer Algebra und bin auf ein Problem gestoßen, was mir erst als garkeines vorkam. Ich weiß überhaupt nicht, wie ich denn konkret an diese Aufgabe rangehen muss.

Hier mal die Aufgabenstellung:

Seien (G; .),(H; *) zwei beliebige Gruppen. Zeigen Sie, dass G x H mit der Verknüpfung
(a; b) ° (c; d) = (a . c; b * d) eine Gruppe ist.

Leider weiß ich nicht, wie man den Punkt und das Sternchen in die Mitte bekommt. Ich hoffe ihr könnt trotzdem damit etwas anfangen smile

Meine Ideen:
Generell muss man ja für die Lösung einfach nur die Axiome abklappern.
Also die Assoziativität, die Existenz eines linksneutralen Elements und die Existenz eines linksinversen Elements.
Muss man denn auch die Abgeschlossenheit nachweisen?

18.11.2010, 21:13

wisili

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RE: beliebige gruppen

Zitat:

Original von lilly-maus
Muss man denn auch die Abgeschlossenheit nachweisen?

Nein, sie ist per Definition der Verknüpfung garantiert.

19.11.2010, 02:48

Cugu

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Zitat:

Nein, sie ist per Definition der Verknüpfung garantiert.

Naja, das kommt auf den Begriff "Verknüpfung" an.

Ich würde den einen Satz zur Begründung, dass $\begin{eqnarray*} \circ: (G \times H) \times (G \times H) \to G \times H \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist, auf jeden Fall hinschreiben.

19.11.2010, 09:50

wisili

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Zitat:

Original von Cugu
Naja, das kommt auf den Begriff "Verknüpfung" an.

An welche konkurrierenden Begriffe denkst du hier?

Zitat:

Original von Cugu
Ich würde den einen Satz zur Begründung, dass ... wohldefiniert ist, auf jeden Fall hinschreiben.

Ich würde mich als Leser dann fragen, was du denn damit genau meinst.

Wenn man eine Verknüpfung zwischen irgendwelchen «Klassen» definiert, greift man oft auf repräsentierende Elemente, um mit ihnen auszudrücken, wie die Verknüpfung läuft. Dann allerdings ist man verpflichtet klarzumachen, dass die Klassenverknüpfung nicht von den beliebig ausgewählten Repräsentanten abhängt, sondern unabhängig davon eindeutig ist. Das würde ich dann eine «Wohldefinition» nennen. Im vorliegenden Fall ist die Definition eine direkte, d.h. sie braucht keine Repräsentanten und deshalb bleibt keine Frage der Eindeutigkeit übrig. (Ein «Paar» ist in der Mathematik dasjenige Objekt, das durch seine 2 geordneten Komponenten eindeutig bestimmt ist.)

20.11.2010, 00:57

Cugu

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Zitat:

An welche konkurrierenden Begriffe denkst du hier?

Eine Verknüpfung ist die Abbildung des kartesischen Produkts endlich vieler Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, \ldots, A_n \end{eqnarray*}$ in eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .
Die Frage ist doch, ob tatsächlich $\begin{eqnarray*} A_1,A_2=G \times H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=G \times H \end{eqnarray*}$ gewählt werden können.

---- ----

Wenn du den Begriff "wohldeiniert" allein auf Repräsentantenunabhängigkeit einschränken möchtest, dann ersetze ihn an dieser Stelle durch "definiert" oder "abgeschlossen" oder was auch immer.
Die Frage ist wie gesagt, ob es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \circ: (G \times H) \times (G \times H) \to G \times H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a; b) \circ (c; d) = (a \cdot c; b * d) \end{eqnarray*}$ gibt.
Du hast recht, dass sich hier die Frage nach der Eindeutigkeit nicht stellt. Es bleibt die Existens.
Warum darf man $\begin{eqnarray*} a\cdot c \end{eqnarray*}$ bilden bzw. warum liegt das in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ? Naja, die Antwort ist klar.

20.11.2010, 11:25

wisili

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Den Begriff «wohldefiniert» hast du hier eingeführt, ich hatte nur von «abgeschlossen» gesprochen. Ich verstehe dein Anliegen nicht wirklich; macht aber nichts. Du meinst vielleicht: Nicht jeder Quatsch ist eine gültige Definition; man muss immer überprüfen, ob die angebliche Definition «in Ordnung» ist. Da stimme ich zu.

20.11.2010, 14:30

Cugu

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Naja, da steht, dass durch $\begin{eqnarray*} (a; b) \circ (c; d) = (a \cdot c; b * d) \end{eqnarray*}$ eine Verknüpfung gegeben ist. Das darf man dann natürlich benutzen.
Aber da steht nicht, dass dies eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ: (G \times H) \times (G \times H) \to G \times H \end{eqnarray*}$ definiert.

Durch $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch auch eine Funktion gegeben. Aber sicherlich nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist das schlampig hingeschrieben. Trotzdem glauben etliche Mathematiker an natürliche Definitionsbereiche.
Ob man nun sagen darf $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist als Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht wohldefiniert, sieh es wie du willst.

Zitat:

Den Begriff «wohldefiniert» hast du hier eingeführt, ich hatte nur von «abgeschlossen» gesprochen.

Und zumindest das ist hier der falsche Begriff. Um von Abgeschlossenheit sprechen zu können, müsste die innere Verknüpfung auf einer größeren Menge gegeben sein. Dann kann man prüfen, ob die gewünschte Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen sind.

Im Grunde ist die Aufgabe blöd gestellt.
Wenn dort stünde "mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ: (G \times H) \times (G \times H) \to G \times H,~~~(a; b) \circ (c; d) = (a \cdot c; b * d) \end{eqnarray*}$ " wäre die Aufgabenstellung klar.
Wenn dort andererseits stünde "mit der Zuordnungsvorschrift $\begin{eqnarray*} (a; b) \circ (c; d) = (a \cdot c; b * d) \end{eqnarray*}$ " und hinzugefügt wird, dass der Definitionsbereich die Teilmenge ist, auf der die Zuordnung definiert ist, dann auch.

Aber was soll's eigentlich. Das ist ein Satz:
Da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Gruppen sind, ist $\begin{eqnarray*} a\cdot c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,c\in G \end{eqnarray*}$ definiert und Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b* d \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b,d\in H \end{eqnarray*}$ definiert und Element von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ , so dass nach Definition des karthesischen Produkt durch $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ eine innere Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ: (G \times H) \times (G \times H) \to G \times H \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

20.11.2010, 15:42

wisili

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lilly-maus fragte, ob man Abgeschlossenheit zeigen müsse.
Ich sagte nein.
Dann kamst du mit der «Wohldefinition». Und damit basta.

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20.11.2010, 16:35

Cugu

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