Wie zeigt man, dass etwas eine Basis ist? |
| 20.11.2010, 12:48 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wie zeigt man, dass etwas eine Basis ist? Wie zeige ich, dass etwas eine Basis ist? Mir ist schon klar, dass ich entweder zeigen muss, dass die Menge ein minimales Erzeugendensystem oder eine maximal linear unabhängige Menge ist, aber wie mache ich das konkret? Wie muss ich vorgehen, nachdem ich gezeigt habe, dass die Elemente aus der Menge (für die gezeigt werden soll, dass sie eine Basis ist) linear unabhängig sind? Danke im Voraus! |
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| 20.11.2010, 12:51 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weißt du denn sonst noch was? Wenn du die Dimension des Vektorraumes kennst, dann ist eine linear unabhängige Menge genau dann maximal, wenn die Anzahl der Vektoren in der Menge gleich der Dimension ist. air |
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| 20.11.2010, 12:58 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank erstmal. Ich muss zeigen, dass {1, x, x², x³, x^4, x^5} eine Basis des Vektorraums, der alle Polynome vom Grad 0 bis zum Grad 5 enthält, ist. Natürlich ganzzahlige Exponenten. Anschaulich ist es ja klar und es ist auch logisch, dass die Menge linear unabhängig ist, da ein Polynom 5. Grades maximal 5 Nullstellen haben kann. Nur wie mache ich weiter? Wir haben in der Vorlesung die Dimension über die Basis definiert, d.h. die Dimension ist n, wenn eine Basis mit n Elementen existiert. Konkret in der Aufgabe steht nicht, was die Dimension ist, also ich denke, das kann man nicht verwenden. Mir ist ebenfalls klar, dass die oben angegebene Menge ein Erzeugendensystem des Vektorraums ist. |
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| 20.11.2010, 13:03 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry für den Doppelbeitrag. Der Körper soll Q sein. |
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| 20.11.2010, 13:04 | Draos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kenn, dass eine Basis ein erzeugendes System ist, in dem man keine Elemente mehr weglassen darf. |
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| 20.11.2010, 13:08 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soweit war slice auch schon:
es geht glaube ich eher darum, im konkreten fall, nämlich, nachzuweisen, dass die menge eine basis des vektorraums der polynome vom grad kleiner/gleich 5 über dem körper der rationalen zahlen ist. zunächst prüfst du, ob die menge ein erzeugendensystem ist, danach, ob die elemente linear unabhängig sind, wenn beides zutrifft hast du ein minimales erzeugendensystem, also eine basis. |
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| 20.11.2010, 13:13 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wieso ist es dann ein minimales Erzeugendensystem, wenn ich überprüfe, ob die Menge linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem ist? Muss ich dann nicht noch zeigen, dass es minimal ist? Danke für eure Geduld! 
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| 20.11.2010, 13:15 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein, denn wenn die elemente des vektorraums linear unabhängig sind und ein erzeugendensystem bilden bedeutet das, dass man kein element weglassen kann, um den vektorraum zu erzeugen.... |
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| 20.11.2010, 13:17 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hat sich das Wasser an der Stelle des Schlauches, auf dem ich stand, aber seeeeehr gestaut... Vielen Dank!!! 
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| 20.11.2010, 13:18 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kommst du denn nu alleine klar? wenn du noch hilfe brauchst, einfach melden
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| 20.11.2010, 13:20 | Slice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komme alleine klar. Wenn was ist, melde ich mich
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