Verknüpfung + neutrales + inverses Element

20.11.2010, 13:38

Janni87

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Verknüpfung + neutrales + inverses Element

Leute ich hab eine Frage zur folgenden Aufgabe

Beweise (Q,+,*) ist ein Körper:

$\begin{eqnarray*} (p,q) \oplus (r,s) := [(p\cdot s+r\cdot q,q\cdot s)] \end{eqnarray*}$

Erster Schritt: (Q,+) ist assoziativ. => Habe ich schon gezeigt.
Jetzt habe ich eine Problem mit dem neutralen Element.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (p,q) \oplus (r,s) \end{eqnarray*}$ mit einander verknüpfe, dann muss ja wieder $\begin{eqnarray*} (p,q) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis rauskommen, damit ich das neutrale Element finde?? Aber welches ist hier das N.E? Rein logisch gesehen müsste ja dann mein "s" = 1 sein
und r*q = 0.

Ist das so richtig gedacht???

20.11.2010, 13:44

Ibn Batuta

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Heißt der Körper $\begin{eqnarray*} (Q,\oplus,\cdot) \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} (Q,+,*) \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

20.11.2010, 13:49

Janni87

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Ja genau

Also ich habe

s = 1 herausgefunden damit dann hinten q stehen bleibt und vorne weiß ich nicht so genau...ich will das vorne das p übrig bleibt

also p*1 + r*q = p??

ich glaube das neutrale Element lautet (0,1).

Ist das richtig??

20.11.2010, 14:17

Janni87

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Ich finde hier leider kein inverses Element unglücklich

unglücklich

traurig

traurig

20.11.2010, 14:42

Janni87

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Kann mir keiner bitte helfen??? Ist das denn kein Körper??? ich finde kein inverses Element!!!

20.11.2010, 14:53

Janni87

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JAAAAAAAA ich hab das inverse Element gefunden!!!

(-(p*s) / q , 1/q ) yaaaaaaaaaaaa

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20.11.2010, 16:09

Janni87

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Hallo nochmal, ich versuche das Distributiv gesetz hier zu zeigen aber am Ende hab ich ein q zuviel, kann mir jemand helfen bitte??

20.11.2010, 16:10

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Janni87
Hallo nochmal, ich versuche das Distributiv gesetz hier zu zeigen aber am Ende hab ich ein q zuviel, kann mir jemand helfen bitte??

Zeig doch mal deine Schritte.

Ibn Batuta

20.11.2010, 16:23

Janni87

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$\begin{eqnarray*} (p,q) \oplus (r,s) = (p\cdot s+r\cdot q,q\cdot s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p,q) \otimes (r,s) = (p\cdot r,q\cdot s) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich doch zeigen:

$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes (r,s) \oplus (y,z) = (p,q)\otimes (r,s)\oplus (p,q)\otimes (y,z) \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 16:32

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Janni87
Jetzt muss ich doch zeigen:

$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes (r,s) \oplus (y,z) = (p,q)\otimes (r,s)\oplus (p,q)\otimes (y,z) \end{eqnarray*}$

Ja.
Verwende deine Definitionen und forme dementsprechend um. Ist zwar ´ne hässliche Arbeit, aber du wirst nicht drumherum kommen.

Ibn Batuta

Edit:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes [(r,s) \oplus (y,z)] = (p,q)\otimes (r,s)\oplus (p,q)\otimes (y,z) \end{eqnarray*}$

So heißt es korrekt.

20.11.2010, 18:14

Janni87

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Ich rechne und rechne und rechne und wende alle Regeln an, aber irgendwie steht auf meiner linken Seite dann etwas anderes als auf der rechten...Auf der rechten Seite habe ich überall ein "q" zuviel... traurig

traurig

Ich hab für die linke Seite stehen:

(prz + pys, qsz)

und für die rechte Seite:

(prqz + pyqs, qsqz)

Das ist aber nicht dasselbe...?!

20.11.2010, 18:33

Janni87

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Kann mir einer eklären, warum ich für die rechte Seite ein "q" zuviel raus habe???

20.11.2010, 18:52

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Janni87
Kann mir einer eklären, warum ich für die rechte Seite ein "q" zuviel raus habe???

$\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ist wie folgt definiert oder nicht?

$\begin{eqnarray*} (p,q) \otimes (r,s) = (p\cdot r,q\cdot s) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

20.11.2010, 18:53

Janni87

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Ja richtig..rechne mal..am ende kriegt man auf der rechten Seite ein "q" zuviel raus...hängt wahrscheinlich damit zusammen, weil wir 2x mit (p,q) rechnen..

$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes (r,s)\oplus (p,q)\otimes (y,z) = (pr,ps) \oplus (py,qz) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (prqz+pyps,psqz) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq (prz + pys, qsz) \end{eqnarray*}$

oder?

20.11.2010, 19:03

Ibn Batuta

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Also, folgendes ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes [(r,s) \oplus (y,z)] = [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)] \end{eqnarray*}$

Zuerst die linke Seite:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes [(r,s) \oplus (y,z)]=(p,q)\otimes(rz+ys,sz)=(prz+pys, qsz) \end{eqnarray*}$

Das war die linke Seite.

Nun die rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)]=(pr,qs)\oplus(py,qz)=(prqz+pyqs,qsqz) \end{eqnarray*}$

Was ist nun deine logische Schlussfolgerung daraus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:04

Janni87

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Das dies kein Körper ist smile

smile

Aber wenn man auf dem Aufgabenblatt steht, dass man zeigen soll, dass es sich um einen Körper handelt, dann gehe ich davon aus, dass dies auch ein Körper ist, deswegen hat mich das ganze etwas verwirrt, weil das Distributivgesetz nicht gilt.

20.11.2010, 19:07

Ibn Batuta

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Poste doch mal die komplette Aufgabe (genau so, wie sie auf der Angabe steht) unter Verwendung von LaTeX.
Dann schaue ich mir das nochmal an.

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:12

Janni87

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Zeigen Sie, dass durch die Vorschriften:

$\begin{eqnarray*} (p,q) \oplus (r,s) := (p\cdot s+r\cdot q, q\cdot s) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p,q) \otimes (r,s) := (p\cdot r, q\cdot s) \end{eqnarray*}$

zwei Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ auf Q wohldefiniert sind.

Aufgabe 3.2

Wir betrachten die Menge Q und die Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ , wie sie oben eingeführt wurden.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} Q(\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper.

20.11.2010, 19:19

Ibn Batuta

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So stimmt es auch nicht.

$\begin{eqnarray*} (p,q)\oplus [(r,s) \otimes (y,z)] = [(p,q)\oplus (r,s)]\otimes [(p,q)\oplus (y,z)] \end{eqnarray*}$

Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\oplus [(r,s) \otimes (y,z)] = (p,q)\oplus(ry,sz) = (psz + ryq, qsz) \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} [(p,q)\oplus (r,s)]\otimes [(p,q)\oplus (y,z)]=(ps+rq,qs)\otimes (pz+yq,qz)=(ps+rq,qs)\otimes (pz+yq,qz)=(pspz+psyq+rqpz+rqyq, qsqz) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

verwirrt

20.11.2010, 19:27

Janni87

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ganz unten hast du aber jetzt stehen:

(a+b) * (a+c)

es muss aber heißen

a*b + a*c

20.11.2010, 19:28

Elvis

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Zitat:

Original von Janni87
Zeigen Sie, dass durch die Vorschriften:

$\begin{eqnarray*} (p,q) \oplus (r,s) := (p\cdot s+r\cdot q, q\cdot s) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p,q) \otimes (r,s) := (p\cdot r, q\cdot s) \end{eqnarray*}$

zwei Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ auf Q wohldefiniert sind.

Aufgabe 3.2

Wir betrachten die Menge Q und die Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ , wie sie oben eingeführt wurden.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} Q(\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper.

Genau betrachtet ist das die Addition und Multiplikation von Brüchen, also rationalen Zahlen. Das ist bekanntlich ein Körper.

20.11.2010, 19:29

Ibn Batuta

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Ich verstehe nicht, was du meinst.

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:30

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Elvis
Genau betrachtet ist das die Addition und Multiplikation von Brüchen, also rationalen Zahlen. Das ist bekanntlich ein Körper.

Schon.
Wo liegt der Fehler in meiner Berechnung auf Seite 1 weiter unten? verwirrt

verwirrt

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:31

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (p,q)=\frac p q \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 19:31

Janni87

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Körper wenn das Distributivgesetz gilt:

Also a*(b+c) = a*b + a*c

bei dir steht aber was anderes in deinem vorletzen Beitrag auf der rechten Seite

20.11.2010, 19:34

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Also, folgendes ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes [(r,s) \oplus (y,z)] = [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)] \end{eqnarray*}$

Zuerst die linke Seite:
$\begin{eqnarray*} (p,q)\otimes [(r,s) \oplus (y,z)]=(p,q)\otimes(rz+ys,sz)=(prz+pys, qsz) \end{eqnarray*}$

Das war die linke Seite.

Nun die rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)]=(pr,qs)\oplus(py,qz)=(prqz+pyqs,qsqz) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

Wo genau liegt hier der Fehler, elvis? Ich sehe ihn nicht.

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:35

Ibn Batuta

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Man kann hier:
$\begin{eqnarray*} [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)]=(pr,qs)\oplus(py,qz)=(prqz+pyqs,qsqz) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (q,q) \end{eqnarray*}$ rausziehen. Das ist ja ein neutrales Element, also bleibt doch $\begin{eqnarray*} (prz+pys,qsz) \end{eqnarray*}$ übrig, richtig?

Ibn Batuta

20.11.2010, 19:37

Elvis

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Benutze meinen Hinweis, schreibe dieselbe Rechnung als Brüche, und du wirst sehen, wo du dich verrechnet hast.

20.11.2010, 19:43

Elvis

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Man kann hier:
$\begin{eqnarray*} [(p,q)\otimes (r,s)]\oplus [(p,q)\otimes (y,z)]=(pr,qs)\oplus(py,qz)=(prqz+pyqs,qsqz) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (q,q) \end{eqnarray*}$ rausziehen. Das ist ja ein neutrales Element, also bleibt doch $\begin{eqnarray*} (prz+pys,qsz) \end{eqnarray*}$ übrig, richtig?

Ibn Batuta

Stiimmt. "Brüche kann man kürzen".

20.11.2010, 19:43

Janni87

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omg wir reden hier die ganze zeit von brüchen haha Big Laugh

Big Laugh

kürzen sagt mir was lol Big Laugh

Big Laugh

Wie würde denn

(prqz+pyqs, qsqz)

als Bruch lauten??? also die rechte seite

ok ich habs smile

smile

danke schön smile

smile

dachte es wäre kein körper weil sich ein paar q's eingeschmuggelt haben auf der rechten seite...aber die kann man ja kürzen...danke elvis..danke batuta..

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