Körper und Teilmengen

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Lin Auf diesen Beitrag antworten »
Körper und Teilmengen
Meine Frage:
Hej, ich hänge grad bei dieser Aufgabe:

Zeigen Sie, dass K:={a+b*Wurzel5 a,b Element Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und dass jK eine echte Teilmenge von R ist.

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ich jetzt die Körperaxiome nachweisen muss, aber ich weiß nicht wie ich zeige, dass es abelsch ist.

Wäre super wenn ihr mir helfen könntet
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Sei mit mit und sei mit mit .

Dann gilt:


Da wir wissen, daß ein Körper ist, dürfen wir folgende Umformung vornehmen (in den Klammern):



Damit ist bezüglich abelsch.

Ibn Batuta
 
 
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank. Das gleiche muss ich jetzt auch noch mit * machen oder? Wenn ich dann noch zeige, dass es ein Inverses gibt und ein Neutrales Element, ist die Aufgabe dann erledigt und reicht das als Beweis?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lin
Ok vielen Dank. Das gleiche muss ich jetzt auch noch mit * machen oder?


Ja.
Du mußt noch zeigen, daß eine abelsche Gruppe ist. Hier mußt du erneut die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß diese Gruppe abelsch ist.

Zitat:
Original von LinWenn ich dann noch zeige, dass es ein Inverses gibt und ein Neutrales Element, ist die Aufgabe dann erledigt und reicht das als Beweis?


Einfach stur die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß die beiden Gruppen abelsch sind. Zusätzlich mußt du noch die Distributivität zeigen. Dann bist du fertig.


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Distributivität nicht schon beweisen wenn ich sage, dass a,b Element Q und und Somit die Distributivgesetze gelten? Wenn nicht, wie zeige ich dass dann?
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich sagen:
Es gibt 2 neutrale Element nämlich 1 und 0 da gilt.

1+0Wurzel5= 1

und

0+0wurzel5 =0
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lin
Ist die Distributivität nicht schon beweisen wenn ich sage, dass a,b Element Q und und Somit die Distributivgesetze gelten?


Nein. Hier geht es ja nicht um den Körper , sondern um .

Zitat:
Original von Lin
Wenn nicht, wie zeige ich dass dann?


Ganz ähnlich meinem Beispiel von vorhin.
Sei
mit mit ,
mit mit und
mit mit .

Zu zeigen ist nun:

(i)

(ii)


Ibn Batuta
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lin
Kann ich sagen:
Es gibt 2 neutrale Element nämlich 1 und 0


Das stimmt nicht.
Jede Gruppe besitzt nur ein neutrales Element. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes mußt du aber nicht extra zeigen. Es langt, wenn du zeigst, daß es in der Gruppe, die du betrachtest, ein neutrales Element existiert.

Zitat:
Original von Lin
1+0Wurzel5= 1

und

0+0wurzel5 =0


Vom Ansatz her stimmt es. Nun mußt du es noch formal-stilistisch korrekt hinschreiben und begründen, warum diese Elemente in ihren Gruppen die neutralen Elemente darstellen.
Dabei mußt du aufpassen, welche (Gruppe) du betrachtest!


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit den Distributivgesetzen hab ich jetzt glaub verstanden. Vielen Dank so langsam steig ich da durch.

Aber nochmal wegen dem neutralem Elemnt.

Wie schreib ich sowas formal-stilistisch richtig auf? ich hab das noch nie gemacht und weiß auch nciht wo ich noch nachschauen soll.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lin
Also das mit den Distributivgesetzen hab ich jetzt glaub verstanden. Vielen Dank so langsam steig ich da durch.


Kein Thema. smile Wenn du fragen hast, nur zu.

Zitat:
Original von LinAber nochmal wegen dem neutralem Elemnt.

Wie schreib ich sowas formal-stilistisch richtig auf? ich hab das noch nie gemacht und weiß auch nciht wo ich noch nachschauen soll.


Ich mache es dir mal bezüglich der abelschen Gruppe vor. Also sei

mit mit und
mit mit

Sei das neutrale Element ist, dann muß gelten:
Also gilt:


Linke Seite zusammengefasst:


Nun sieht man leicht, daß sein muß, damit der linke Ausdruck der rechten Seite entspricht. Ergo ist , also ist .

Verstanden soweit?


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Super, das ist echt toll das einem hier so gut gehoolfen wird ich versteh nämlich jetzt was ich machen soll. Freude

Für das Inverse zeig ich dann: z+z^-1=0 für (k,+)
und z*z^-1 = 1 für (k {0},*) oder?

dann hab ich ja (a+bwurzel5)+(a+bwurzel5)^-1= 0 nach was löse ich diese gleichung dann auf? muss ich wieder schauen was a und b sien müssen? ich komm dann auf am schluss auf a*(a+bwurzel5)+bwurzel5(a+bwurzel5)+1=0

de lsöung wär dann ja a+b+1=0 also a+b=-1 aber das stimmt doch dann nciht oder?

Wo hab ich da einen fehler gemeacht?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lin
Super, das ist echt toll das einem hier so gut gehoolfen wird ich versteh nämlich jetzt was ich machen soll. Freude

Für das Inverse zeig ich dann: z+z^-1=0 für (k,+)
und z*z^-1 = 1 für (k {0},*) oder?


Ganz genau.

Zitat:
Original von Lindann hab ich ja (a+bwurzel5)+(a+bwurzel5)^-1= 0 nach was löse ich diese gleichung dann auf? muss ich wieder schauen was a und b sien müssen? ich komm dann auf am schluss auf a*(a+bwurzel5)+bwurzel5(a+bwurzel5)+1=0

de lsöung wär dann ja a+b+1=0 also a+b=-1 aber das stimmt doch dann nciht oder?

Wo hab ich da einen fehler gemeacht?


So funktioniert das leider nicht. unglücklich Du darfst das "hoch -1" nicht verwechseln. Hoch -1 bedeutet hier, daß es das inverse Element ist!
Ich zeige dir es für . Für kannst du es ja dann alleine lösen. smile Das funktioniert analog.

Sei mit mit und
mit mit und es gelte:

Also:


=> Umformen:


bzw. ist die Addition in laut deiner Angabe von .
Dann wissen wir ja aus den Körpereigenschaften von , daß , da und , da ist.
Also haben wir ein Inverses zu gefunden.


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, jetzt weiß ich auch warum es falsch war.

Aber bei (K\{0},*,1) häng ich jetzt wieder unglücklich

Also ich mach: (a+bwurzel5)*(x+ywurzel5)=1

und form es um nach: x*(a+bwurzel5)+ ywurzel5*(a+bwurzel5)=1

wie mach ich das jetzt?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht fast genauso, wie ich es dir vorhin gezeigt habe. Mach doch mal Schritt für Schritt durch und poste es hierher (gerne auch unter Verwendung von LaTeX, sonst ist es immer so schwer zu lesen...).


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »



also soweit habe ich jetzt, aber ich weiß nicht wie ich weiter machen muss bei + habe ich es verstanden aber hier steh ich grad auf der leitung
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn das x her?


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mich vertippt,

das z muss eigentlich ein x sein smile
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »



. Daraus würde folgen w=z^-1, also daß ist.

Nun muß man noch zeigen, daß das auch wirklich gilt.


Ibn Batuta
Lin Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]Kann ich dass dann so aufschreiben:

Bei (k\{0},*,1) gilt: z*w=1 => w=\frac{1}{z} => w=z^-1 => z*z^-1=1
Beweis:
(a+b\sqrt{5})*(a+b\sqrt{5})^-1=1

Dann kürzen und smit stimmt es

Ist das richtig?
Fartah Auf diesen Beitrag antworten »

Lin Auf diesen Beitrag antworten »

Hej vielen Dank für deine Hilfe Ibn Batuta.

Du hast mir sehr geholfen.
Fartah Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Lin hast du denn jetzt die Lösung. Ich komme bei dem Inversen bzgl Multipl. nicht weiter unglücklich
das ist eine lange gleichung, die mir nix sagt...
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fartah
Hey Lin hast du denn jetzt die Lösung. Ich komme bei dem Inversen bzgl Multipl. nicht weiter unglücklich
das ist eine lange gleichung, die mir nix sagt...


Lange Gleichung?
Schau mal hier: Menge K ist ein Körper
Das sollte auch dir weiterhelfen.


Ibn Batuta
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