Körper und Teilmengen

20.11.2010, 14:54

Lin

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Körper und Teilmengen

Meine Frage:
Hej, ich hänge grad bei dieser Aufgabe:

Zeigen Sie, dass K:={a+b*Wurzel5 a,b Element Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und dass jK eine echte Teilmenge von R ist.

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ich jetzt die Körperaxiome nachweisen muss, aber ich weiß nicht wie ich zeige, dass es abelsch ist.

Wäre super wenn ihr mir helfen könntet

20.11.2010, 15:04

Ibn Batuta

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Sei $\begin{eqnarray*} z \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} w \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w = x + y\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} z+w = a + b\cdot\sqrt 5 + x + y\cdot\sqrt 5 = (a+x) + (b+y)\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

Da wir wissen, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, dürfen wir folgende Umformung vornehmen (in den Klammern):

$\begin{eqnarray*} (a+x) + (b+y)\sqrt 5 = (x+a) + (y+b)\sqrt 5 = x + a + y\sqrt 5 + b\sqrt 5 = x+y\sqrt 5 + a+b\sqrt 5 = (x+y\sqrt 5) + (a+b\sqrt 5) = w+z \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ abelsch.

Ibn Batuta

20.11.2010, 16:47

Lin

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Ok vielen Dank. Das gleiche muss ich jetzt auch noch mit * machen oder? Wenn ich dann noch zeige, dass es ein Inverses gibt und ein Neutrales Element, ist die Aufgabe dann erledigt und reicht das als Beweis?

20.11.2010, 16:53

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Lin
Ok vielen Dank. Das gleiche muss ich jetzt auch noch mit * machen oder?

Ja.
Du mußt noch zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (K\setminus\{0\},\cdot ) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist. Hier mußt du erneut die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß diese Gruppe abelsch ist.

Zitat:

Original von LinWenn ich dann noch zeige, dass es ein Inverses gibt und ein Neutrales Element, ist die Aufgabe dann erledigt und reicht das als Beweis?

Einfach stur die Gruppenaxiome prüfen und zeigen, daß die beiden Gruppen abelsch sind. Zusätzlich mußt du noch die Distributivität zeigen. Dann bist du fertig.

Ibn Batuta

20.11.2010, 17:18

Lin

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Ist die Distributivität nicht schon beweisen wenn ich sage, dass a,b Element Q und und Somit die Distributivgesetze gelten? Wenn nicht, wie zeige ich dass dann?

20.11.2010, 17:37

Lin

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Kann ich sagen:
Es gibt 2 neutrale Element nämlich 1 und 0 da gilt.

1+0Wurzel5= 1

und

0+0wurzel5 =0

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20.11.2010, 17:41

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Lin
Ist die Distributivität nicht schon beweisen wenn ich sage, dass a,b Element Q und und Somit die Distributivgesetze gelten?

Nein. Hier geht es ja nicht um den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lin
Wenn nicht, wie zeige ich dass dann?

Ganz ähnlich meinem Beispiel von vorhin.
Sei
$\begin{eqnarray*} z \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} w \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w = x + y\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = c + d\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c, d \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist nun:

(i) $\begin{eqnarray*} z\cdot (w+f) = z\cdot w +z\cdot f \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} (z+w)\cdot f = z \cdot f + w \cdot f \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

20.11.2010, 17:44

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Lin
Kann ich sagen:
Es gibt 2 neutrale Element nämlich 1 und 0

Das stimmt nicht.
Jede Gruppe besitzt nur ein neutrales Element. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes mußt du aber nicht extra zeigen. Es langt, wenn du zeigst, daß es in der Gruppe, die du betrachtest, ein neutrales Element existiert.

Zitat:

Original von Lin
1+0Wurzel5= 1

und

0+0wurzel5 =0

Vom Ansatz her stimmt es. Nun mußt du es noch formal-stilistisch korrekt hinschreiben und begründen, warum diese Elemente in ihren Gruppen die neutralen Elemente darstellen.
Dabei mußt du aufpassen, welche (Gruppe) du betrachtest!

Ibn Batuta

20.11.2010, 18:16

Lin

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Also das mit den Distributivgesetzen hab ich jetzt glaub verstanden. Vielen Dank so langsam steig ich da durch.

Aber nochmal wegen dem neutralem Elemnt.

Wie schreib ich sowas formal-stilistisch richtig auf? ich hab das noch nie gemacht und weiß auch nciht wo ich noch nachschauen soll.

20.11.2010, 18:24

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Lin
Also das mit den Distributivgesetzen hab ich jetzt glaub verstanden. Vielen Dank so langsam steig ich da durch.

Kein Thema. smile

smile

Wenn du fragen hast, nur zu.

Zitat:

Original von LinAber nochmal wegen dem neutralem Elemnt.

Wie schreib ich sowas formal-stilistisch richtig auf? ich hab das noch nie gemacht und weiß auch nciht wo ich noch nachschauen soll.

Ich mache es dir mal bezüglich der abelschen Gruppe $\begin{eqnarray*} (K, +) \end{eqnarray*}$ vor. Also sei

$\begin{eqnarray*} z \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} w \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w = x + y\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist, dann muß gelten: $\begin{eqnarray*} z+w=z \end{eqnarray*}$
Also gilt:
$\begin{eqnarray*} a + b\cdot\sqrt 5 + x + y\cdot\sqrt 5 = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

Linke Seite zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} (a+x) + (b+y)\cdot\sqrt 5 = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

Nun sieht man leicht, daß $\begin{eqnarray*} x = y = 0 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sein muß, damit der linke Ausdruck der rechten Seite entspricht. Ergo ist $\begin{eqnarray*} w = 0 + 0\cdot\sqrt 5 = 0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} 0 \in K \end{eqnarray*}$ .

Verstanden soweit?

Ibn Batuta

21.11.2010, 13:44

Lin

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Super, das ist echt toll das einem hier so gut gehoolfen wird ich versteh nämlich jetzt was ich machen soll. Freude

Freude

Für das Inverse zeig ich dann: z+z^-1=0 für (k,+)
und z*z^-1 = 1 für (k {0},*) oder?

dann hab ich ja (a+bwurzel5)+(a+bwurzel5)^-1= 0 nach was löse ich diese gleichung dann auf? muss ich wieder schauen was a und b sien müssen? ich komm dann auf am schluss auf a*(a+bwurzel5)+bwurzel5(a+bwurzel5)+1=0

de lsöung wär dann ja a+b+1=0 also a+b=-1 aber das stimmt doch dann nciht oder?

Wo hab ich da einen fehler gemeacht?

21.11.2010, 14:06

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Lin
Super, das ist echt toll das einem hier so gut gehoolfen wird ich versteh nämlich jetzt was ich machen soll. Freude

Freude

Für das Inverse zeig ich dann: z+z^-1=0 für (k,+)
und z*z^-1 = 1 für (k {0},*) oder?

Ganz genau.

Zitat:

Original von Lindann hab ich ja (a+bwurzel5)+(a+bwurzel5)^-1= 0 nach was löse ich diese gleichung dann auf? muss ich wieder schauen was a und b sien müssen? ich komm dann auf am schluss auf a*(a+bwurzel5)+bwurzel5(a+bwurzel5)+1=0

de lsöung wär dann ja a+b+1=0 also a+b=-1 aber das stimmt doch dann nciht oder?

Wo hab ich da einen fehler gemeacht?

So funktioniert das leider nicht. unglücklich

unglücklich

Du darfst das "hoch -1" nicht verwechseln. Hoch -1 bedeutet hier, daß es das inverse Element ist!
Ich zeige dir es für $\begin{eqnarray*} (K,+,0) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} (K\setminus\{0\},\cdot, 1) \end{eqnarray*}$ kannst du es ja dann alleine lösen. smile

smile

Das funktioniert analog.

Sei $\begin{eqnarray*} z \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = a + b\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} w \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w = x + y\cdot\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und es gelte: $\begin{eqnarray*} z+w = 0 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (a + b\cdot\sqrt 5) + (x + y\cdot\sqrt 5) = 0 \end{eqnarray*}$
=> Umformen:
$\begin{eqnarray*} (a+x) + (b+y)\sqrt 5 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (b+y) \end{eqnarray*}$ ist die Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ laut deiner Angabe von $\begin{eqnarray*} a,x,b,y \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .
Dann wissen wir ja aus den Körpereigenschaften von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} x = -a \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a+(-a) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = -b \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b+(-b) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Also haben wir ein Inverses $\begin{eqnarray*} w = (-a) + (-b)\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gefunden.

Ibn Batuta

21.11.2010, 15:44

Lin

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Ah ok, jetzt weiß ich auch warum es falsch war.

Aber bei (K\{0},*,1) häng ich jetzt wieder unglücklich

unglücklich

Also ich mach: (a+bwurzel5)*(x+ywurzel5)=1

und form es um nach: x*(a+bwurzel5)+ ywurzel5*(a+bwurzel5)=1

wie mach ich das jetzt?

21.11.2010, 16:11

Ibn Batuta

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Es geht fast genauso, wie ich es dir vorhin gezeigt habe. Mach doch mal Schritt für Schritt durch und poste es hierher (gerne auch unter Verwendung von LaTeX, sonst ist es immer so schwer zu lesen...).

Ibn Batuta

21.11.2010, 16:30

Lin

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$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{5})*(z+y\sqrt{5})=1<br /> <=> ax + ay\sqrt{5} + bx\sqrt{5}+by\sqrt{5} =1<br /> <=> x*(a+b\sqrt{5})+y\sqrt{5}(a+b\sqrt{5})=1 \end{eqnarray*}$

also soweit habe ich jetzt, aber ich weiß nicht wie ich weiter machen muss bei + habe ich es verstanden aber hier steh ich grad auf der leitung

21.11.2010, 16:37

Ibn Batuta

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Wo kommt denn das x her?

Ibn Batuta

21.11.2010, 19:21

Lin

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ich hab mich vertippt,

das z muss eigentlich ein x sein smile

smile

21.11.2010, 19:35

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} z\cdot w=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ . Daraus würde folgen w=z^-1, also daß $\begin{eqnarray*} z \cdot z^-1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun muß man noch zeigen, daß das auch wirklich gilt.

Ibn Batuta

21.11.2010, 20:22

Lin

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[latex]Kann ich dass dann so aufschreiben:

Bei (k\{0},*,1) gilt: z*w=1 => w=\frac{1}{z} => w=z^-1 => z*z^-1=1
Beweis:
(a+b\sqrt{5})*(a+b\sqrt{5})^-1=1

Dann kürzen und smit stimmt es

Ist das richtig?

22.11.2010, 18:39

Fartah

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$\begin{eqnarray*} Also zusammenfassend: Um zu beweisen, dass die Menge K ein Körper ist, muss man zeigen, dass (K,+ ) eine kommutative Gruppe ist \Rightarrow K muss bzgl. Addition assoziativ sein, komm, und ein neutrl. Element besitzen<br /> <br /> Dann muss weiter gelten, (K,\{0},\cdot ) eine kommutative Gruppe ist \Rightarrow ass., komm., und es muss ein neutrl. El. existieren.<br /> <br /> Als letztes müssen noch die Distributivgesetze gelten.<br /> <br /> NUn erstmal zum Inversen Element bzgl (K/{0},\cdot )<br /> Sei z Element von K mit z= a+b\sqrt{x} 3 mit a,b\in "Rationale Zahlen" und w\in K mit w0x+y\sqrt{x} 3 mit x,y\in "Rationale Zahlen".<br /> <br /> z\cdot w=1<br /> Also: (a+ b\cdot \sqrt{x} {3})(x+ y\sqrt{x} {3})=1 <br /> sooooooo und da komme ich auf keinen grünen Zweig....<br /> <br /> bin soweit: (x+ y\cdot \sqrt{x} \sqrt{x} 3)=\frac{a}{b} {1}{a+b\sqrt{x} {3}} .... und dann??!??!<br /> <br /> bitte umm hilfe..<br /> und dann noch eine kleinigkeit. In der Aufgabe steht, dass man nur überprüfen soll, dass jedes 0\neq x\in K multiplikativ invertierbar ist....<br /> <br /> muss ich dann gar nicht den rest zeigen? und was genau ist damit gemeint? also ich verstehe gar nicht was ich hier "NUR" zeigen soll .. \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 18:55

Lin

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Hej vielen Dank für deine Hilfe Ibn Batuta.

Du hast mir sehr geholfen.

22.11.2010, 19:01

Fartah

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Hey Lin hast du denn jetzt die Lösung. Ich komme bei dem Inversen bzgl Multipl. nicht weiter unglücklich

unglücklich

das ist eine lange gleichung, die mir nix sagt...

22.11.2010, 20:13

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Fartah
Hey Lin hast du denn jetzt die Lösung. Ich komme bei dem Inversen bzgl Multipl. nicht weiter unglücklich

unglücklich

das ist eine lange gleichung, die mir nix sagt...

Lange Gleichung?
Schau mal hier: Menge K ist ein Körper
Das sollte auch dir weiterhelfen.

Ibn Batuta

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