Menge aller Funktionen mit definierter Addition

20.11.2010, 15:04

se7en

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Menge aller Funktionen mit definierter Addition

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Es sei F(R,R) die Menge aller Funktionen von R nach R. Wir definieren eine Addition
$\begin{eqnarray*} \oplus : F(R,R) x F(R,R) -> F(R,R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f,g) -> f \oplus g \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} f \oplus g \end{eqnarray*}$ die Funktion ist, die x auf $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ abbildet. Machen Sie sich klar, dass $\begin{eqnarray*} F(R,R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bildet. Ist $\begin{eqnarray*} F(R,R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ als Addition und der Komposition von Funktionen als Multiplikation ein Ring?

Meine Ideen:
Ich weiß ehrlich gesagt jetzt noch nicht wirklich, was ich machen soll. Heißt das klar machen, dass ich erstmal zeigen muss, dass es sich um eine Gruppe handelt? Also Assoziativ, neutrales und inverses Element etc?
Für die Assoziativität müsste dann doch folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} [(f \oplus g) \oplus h](x) = [f \oplus (g \oplus h)](x) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann mir noch mal jemand etwas verdeutlichen, um was es eigentlich in der Aufgabe geht...
Wäre für eure Hilfe echt dankbar!

20.11.2010, 15:49

Ibn Batuta

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(Ist mit R vielleicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gemeint?)

Du sollst folgendes prüfen:

Ist $\begin{eqnarray*} (F(\mathbb{R},\mathbb{R}), \oplus) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe?
Ist $\begin{eqnarray*} (F(\mathbb{R},\mathbb{R}), \circ) \end{eqnarray*}$ eine Halbgruppe?
Gilt das Distributivgesetz?

Ibn Batuta

21.11.2010, 09:54

se7en

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Ja, du hast Recht ich meine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn ich zeigen muss, dass die Gruppe abelsch ist, muss ich dann erstmal alle Eigenschaften der Gruppe beweisen, oder nur die Kommutativität?

Und wäre die Assoziativität so wie ich sie oben hingeschrieben habe richtig? Bin mir generell bei der Schreibwieise noch nicht so sicher.

21.11.2010, 10:36

se7en

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Wären diese Beweise für Assoziativität und Kommutativität richtig:

Assoziativität
$\begin{eqnarray*} <br /> (f \oplus g) \oplus h<br /> = (f(x) + g(x)) + h(x) \end{eqnarray*}$
bei der normalen addition gilt ja Assoziativität,also
$\begin{eqnarray*} = f(x)+(g(x)+h(x)) \end{eqnarray*}$
und das ist wieder als $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f \oplus (g \oplus h) \end{eqnarray*}$

Kommutativität
$\begin{eqnarray*} f \oplus g<br /> =f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$
Und auch hier kann ich doch die Kommutativität aus der Addition benutzen, also
$\begin{eqnarray*} g(x)+f(x)=g \oplus f \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 11:03

Ibn Batuta

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Ich würde es so prüfen:

$\begin{eqnarray*} <br /> (f \oplus g) \oplus h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (f(x) + g(x)) + h(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(f+g)(x)+h(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(f+g+h)(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x)+(g+h)(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x)+g(x)+h(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f(x)+(g(x)+h(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f \oplus (g\oplus h) \end{eqnarray*}$

Die abelsche Eigenschaft würde ich ebenfalls so zeigen.

Ibn Batuta

21.11.2010, 11:22

se7en

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Schon mal ein groes Dankeschön dafür, dass du dich damit beschäftigst, um mir zu helfen.

Ok, das heißt, dass ich $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Das hilft mir schon mal ganz gut weiter.
In unserem Skript ist bewiesen, dass id das neutrale Element ist und f^-1 das inverse Element.

Damit hätte ich also bewiesen, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt.

Ist mit der Komposition von Funktionen als Multiplikation vielleicht gemeint, dass man die zwei Funktionen statt mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ definiert und als $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ schreibt?

Dann ist $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ aber nicht assoziativ, oder?
Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (f \otimes g) \otimes h<br /> = (f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x)<br /> = [(f \cdot g)(x)] \cdot h(x)<br /> = [(f \cdot g) \cdot h](x) \end{eqnarray*}$

und das ist nich assoziativ

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21.11.2010, 11:33

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von se7en
Schon mal ein groes Dankeschön dafür, dass du dich damit beschäftigst, um mir zu helfen.

Ok, das heißt, dass ich $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Das hilft mir schon mal ganz gut weiter.
In unserem Skript ist bewiesen, dass id das neutrale Element ist und f^-1 das inverse Element.

Damit hätte ich also bewiesen, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt.

Wenn ihr in eurem Skript das neutrale und inverse Element für $\begin{eqnarray*} F(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ schon bewiesen habt, dann brauchst du das nicht extra (nochmal) zeigen. Ja, die Kommutativität zeigst du analog, wie ich es dir bei der Assoziativität gezeigt habe.

Zitat:

Original von se7en
Ist mit der Komposition von Funktionen als Multiplikation vielleicht gemeint, dass man die zwei Funktionen statt mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ definiert und als $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ schreibt?

Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ist, denke ich, wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \otimes: f \otimes g = f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dann umformen.

Zitat:

Original von se7en
Dann ist $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ aber nicht assoziativ, oder?
Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (f \otimes g) \otimes h<br /> = (f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x)<br /> = [(f \cdot g)(x)] \cdot h(x)<br /> = [(f \cdot g) \cdot h](x) \end{eqnarray*}$

und das ist nich assoziativ

Sei $\begin{eqnarray*} f, g, h \in F(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f\otimes(g\otimes h) = f(x)\cdot (g(x)\cdot h(x)) = f(x)\cdot(g\cdot h)(x)= (f\cdot g\cdot h)(x)=(f\cdot g)(x)\cdot h(x) = (f(x)\cdot g(x))\cdot h(x)=(f\otimes g)\otimes h \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} F(\mathbb{R},\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ assoziativ ist.

21.11.2010, 11:50

kiste

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Ist doch schön erstaunlich wie bei euch das x immer plötzlich im zweiten Schritt herbeigeflogen kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} f\oplus g \neq f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (f\oplus g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 11:52

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von kiste
Ist doch schön erstaunlich wie bei euch das x immer plötzlich im zweiten Schritt herbeigeflogen kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} f\oplus g \neq f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (f\oplus g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$

Arrgggh... JA! Du hast ja Recht. unglücklich

unglücklich

21.11.2010, 13:11

se7en

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Ok, dann muss ich ja als nächstes die Distributivgesetzte für die folgenden Verknüpfungen beweisen (Ziel ist ja die Frage, ob es ein Ring ist)
$\begin{eqnarray*} f \otimes (g \oplus h) = f \otimes g \oplus f \otimes h) \end{eqnarray*}$

und umgekehrt.

Hier mein Beweis:
(Das (x) muss ich erst hier verwenden oder? -Danke kiste)

$\begin{eqnarray*} (f \otimes (g \oplus h))(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(x) \cdot (g(x) + h(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(x) \cdot [(g + h)(x)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [f \cdot (g + h)](x) \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich normal ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} = [f \cdot g + f \cdot h](x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f \cdot g)(x) + (f \cdot h)(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(x) \cdot (g(x) + f(x) \cdot h(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [f \otimes g + f \otimes h](x) \end{eqnarray*}$

In der anderen Richtung kann ich ja dann auch nach der Umformung normal ausklammern oder? Dann bekomme ich das hin.

Also ist $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ,\mathbb R) mit \oplus und \otimes \end{eqnarray*}$ ein Ring

21.11.2010, 15:29

Hmmmmmmmmmm

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Ein Tipp von einer anderen Seite...
Also auf einer anderen Seite steht als Tipp zu dieser Aufgabe, dass ein Gegenbeispiel reichen würde, falls es kein Ring sein sollte...
Aber so wie ich euch verstehe scheint es ein Ring zu sein?

Ich bin ein bisschen verwirrt, weil es ja z.B. für die Funktion f(x)=x², also von R->R nicht unbedingt ein Inverses gibt. Oder verstehe ich gerade etwas völlig falsch?

21.11.2010, 15:42

kiste

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Da ist es fast praktisch dass Elemente kein Inverses brauchen in einem Ring(bez. Mult.).

21.11.2010, 18:14

Gast1233323423

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Ist es nun ein Ring oder nicht?

Ich steig jetzt garnicht mehr durch!

Es ist doch so dass:

Für die Addition :
ein Inverses für jedes Element geben muss [JA mit -f(x)]
Ein Neutrales Element existiert [JA - mit 0]
Das Assoziativgesetz gelten muss [JA - siehe Beweise]
Das Kommutativgesetz gelten muss [JA -siehe Beweise]

und somit die Addition abelsch ist

Für die Konkantination / Komposition:
das Assitiativgesetz gelten muss [ JA - siehe Beweise]

Und für F(R,R) :
Das Distributiv gesetz gilt [ ? ]

Und genau hier hängt es bei mir.

Gilt es nun, und ist es ein Ring oder nicht.

Ich meine mit dem Beispiel:
f(x) = x+1
g(x) = x ^2
h(x) = 3x

ist das Distributiv gesetz wiederlegt.

21.11.2010, 18:37

Jupie

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Eigentlich muss man sich nur mal das Distributivgesetz in diesem Fall anschauen. Und schon sollte man schnell sehen, das es kein Ring ist. So wie du es gemacht hast, würde ich es auch machen und schon hat man widerlegt, dass die beiden keinen Ring bilden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nehme man $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} , g(x) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) = x \end{eqnarray*}$
dann müsste ja gelten, dass
$\begin{eqnarray*} x^{3} \cdot 2x = x^{4} + x^{4} \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 18:39

kiste

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Eigentlich traurig dass ich das im Hochschulbereich sagen muss:
$\begin{eqnarray*} x^3\cdot 2x = x^4+x^4 \end{eqnarray*}$ gilt!

edit: Das Ding ist natürlich ein Ring. Allgemeiner ist Abb(M,R) für einen Ring R und eine bel. Menge M wieder ein Ring

21.11.2010, 19:14

se7en

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Ist mein Beweis für die Distributivität jetzt eigentlich so in Ordnung?

21.11.2010, 19:17

kiste

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Nein der stimmt nicht. Wann immer etwas wie $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)(x) \end{eqnarray*}$ dasteht, ist das nicht definiert. Schreibe erst alles als Produkt á la f(x)g(x) etc. und benutze dann die Distributivität in R

21.11.2010, 19:25

se7en

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Also von
$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot (g(x) + h(x)) \end{eqnarray*}$

ist der nächste Schritt dann

$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot h(x) \end{eqnarray*}$

oder wie ist das jetzt genau gemeint?

Und warum ist
$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)(x) \end{eqnarray*}$

nicht definiert?

Ist dann nicht auch der Beweis für die Assoziativität falsch?

Erleuchte mich Gott

Gott

21.11.2010, 19:39

kiste

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Ich lese gerade das erste mal die Aufgabenstellung Big Laugh

Big Laugh

Das Produkt ist nicht $\begin{eqnarray*} (f\odot g)(x) = f(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (f\circ g)(x) = f(g(x)) \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 19:42

se7en

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Das heißt, dass ich morgen noch mal anfangen muss...

Aber bei der Addition kann man das machen oder?

21.11.2010, 19:51

kiste

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Ja, wenn du beachtest statt $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} (f\oplus g)(x) \end{eqnarray*}$ zu schreiben.
Und das ist kein Beinbruch weswegen du die Aufgabe um einen Tag verschieben musst. Der ganze Beweis ist doch nüchtern gesehen nur ein ausschreiben der Definition. Man braucht keine große eigene Denkleistung dafür.

21.11.2010, 20:07

se7en

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Achso, ich glaube ich verstehe langsam was du meinst.

Ich soll also nicht benutzen, dass in der Aufgabenstellung steht, dass
$\begin{eqnarray*} f(x) \oplus g(x) = f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ ist, sondern immer $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ benutzen.

Geht der Anfang zum Beweis für Assoziativität dann in etwa so:

$\begin{eqnarray*} [f \otimes (g \otimes h)](x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(g(h(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (f \otimes g)(h(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [(f \otimes g) \otimes h](x) \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 20:10

kiste

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Nein, $\begin{eqnarray*} f(x)\oplus g(x) \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn. Entweder $\begin{eqnarray*} (f\oplus g)(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ . Keine anderen Konstruktionen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Beweis passt, üblicherweise schreibt man für die Komposition aber $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 20:20

se7en

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Okay, dann schonmal ein riesen Dankeschön für deine Geduld und deine Hilfe.

Morgen werde ich mich dann nochmal an den Beweis der Distributivität machen,

22.11.2010, 12:51

se7en

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Nächster Beweis für die Distributivität: Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also es gilt ja folgendes zu zeigen: ("o" ist die eine verknüpfung, $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ die andere)

$\begin{eqnarray*} f o ( g \oplus h) = f o g \oplus f o h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [f o (g \oplus h)](x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f((g \oplus h)(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(g(x) + h(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(g(x)) + f(h(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f o g)(x) + (f o h)(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f o g + f o h)(x) \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 12:55

kiste

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Zitat:

Original von se7en
$\begin{eqnarray*} f(g(x) + h(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(g(x)) + f(h(x)) \end{eqnarray*}$

Und hier hast du den Knackpunkt der ganzen Aufgabe einfach übergangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 12:57

se7en

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Schätze mal, das heißt, dass das nicht so geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp?

22.11.2010, 13:00

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbeispiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 13:25

se7en

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Also, wenn ich jetzt mal
$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = 3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = 4x \end{eqnarray*}$

Gegenbeispiel - also nehme ich an, dass

$\begin{eqnarray*} f(g(x) + h(x)) \neq f(g(x)) + f(h(x)) \end{eqnarray*}$

ist. Oben genannte Fuktionen einsetzten, dann kommt beides mal 14x raus.
=> Bewiesen?

Irgendwie nicht, denn, wenn ich z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

setze stimmt es nicht.

Ist der Beweis generell falsch oder nur die Umformung? Blicke gerade nicht mehr so ganz durch

22.11.2010, 13:32

kiste

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Naja es gilt für lineare Funktionen, es ist also nicht unbedingt die beste Idee für ein Gegenbeispiel mit linearen Funktionen anzukommen Big Laugh

Big Laugh

22.11.2010, 13:35

se7en

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Wie denn sonst? Ich komme irgendwie nicht so recht weiter...

22.11.2010, 13:37

kiste

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Du hast doch schon ein Gegenbeispiel mit f(x) = x^2 gefunden. Was willst du den noch mehr? Damit kann die Gleichheit nicht gelten

22.11.2010, 13:41

se7en

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Dann ist meine Umformung bei dem Beweis der Distributivität also nicht gültig, heißt das, dass es keine Distributivität gibt oder nur das ich einfach nicht weiß, wie man so etwas umformt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 14:29

kiste

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Nochmal: Du hast eine Gegenbeispiel gefunden!!! Also kann das Distributivgesetz nicht gelten.

22.11.2010, 14:33

se7en

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Zitat:

Original von kiste
Das Ding ist natürlich ein Ring.

Dann ist das kein Ring! (oder?)

22.11.2010, 14:35

kiste

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Ja es ist kein Ring. Wenn man genau nachschaut, habe ich damals noch die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ , nicht die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ angenommen. Deswegen auch die Bemerkung mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{Abb}(M,\mathbb R) \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 14:41

se7en

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Puuh, danke Kiste dann wäre das ja geschafft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmal ein riesen Dankeschön für deine Geduld und Hilfe.

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