Endziffer in Dezimaldarstellung

20.11.2010, 18:24	Amélie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Endziffer in Dezimaldarstellung Meine Frage: Ich soll folgende Aufgabe lösen: Bestimmen Sie die Endziffer in der Dezimaldarstellung der Zahlen $\begin{eqnarray} 2001^{2001} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2011^{2011} \end{eqnarray}$ . Zu 1) $\begin{eqnarray} 2001^{2001} \end{eqnarray}$ (mod 10) = (6673)^2001 (mod 10) = (6673)^(5004+1) (mod 10) = (667^(5004+1) * 3^(5004+1)) (mod 10) = (667^(5004+1) * 3^(5004) 3) (mod 10) Nach Fermat ist 3^4 = 1^4 also: = (667^(5004+1) 1^500 * 3) (mod 10) ab hier komme ich jetzt nicht weiter!!! Meine Ideen: siehe oben
20.11.2010, 18:57	Amélie90	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endziffer in Dezimaldarstellung Kann mir bitte jemand helfen! Es ist wichtig!!!
20.11.2010, 19:03	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob der Einfachheit der Frage muss ich mal nachfragen: Es geht wirklich nur um eine, d.h. die letzte Endziffer? Also nicht die letzten zwei, drei Endziffern o.ä.?
20.11.2010, 19:07	Amélie90	Auf diesen Beitrag antworten »
in der aufgabe steht ja bestimmen sie DIE ENDZIFFER. ich denke es ist nur nach einer gefragt. in der vorlesung hatten wir ein beispiel, in dem auch nur die letzte endziffer berechnet wurde. aber das beispiel war viel einfacher!!!
20.11.2010, 19:09	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn hier schwer? Es ist $\begin{eqnarray} 2001 \equiv 1\bmod 10 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} 2001^n \equiv 1^n\bmod 10 \end{eqnarray}$ für beliebige Exponenten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ...
20.11.2010, 19:11	Amélie90	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube das hilft hier nicht weiter...
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20.11.2010, 19:13	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich jetzt sprachlos vor Entsetzen.
20.11.2010, 19:41	Amélie90	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich bin auch sprachlos, weil ich glaube die lösung gefunden zu haben: ich zerlege die 10 von mod 10 in 10 = 52 also $\begin{eqnarray} 2001^{2001}\equiv 3 \end{eqnarray}$ (mod 2) $\begin{eqnarray} 2001^{2001} \equiv 1 \end{eqnarray}$ (mod 5) anwendung chinestischer restsatz: lineare darstellung ggt(2,5)=1 -22 + 15 =1 avnbum= 315 + 1(-2)2 = 11 also: $\begin{eqnarray} 2001^{2001} \equiv 11\equiv 1 \end{eqnarray}$ (mod 10) die endziffer ist also 1. ich hoffe, dass das so richtig ist.
20.11.2010, 19:56	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, viele Wege führen nach Rom. Du hast einen der längsten gewählt, den man sich überhaupt nur vorstellen kann. Die gute Nachricht: Endziffer 1 ist richtig.

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