Determinante für "Matrixtyp" zeigen

20.11.2010, 21:21

MichaelJackson

Determinante für "Matrixtyp" zeigen

Meine Frage:
Die Frage ist im ersten Bildanhang zu sehen.

Meine Ideen:
Ich denke die Lösung ist mit der Leibnizformel (Siehe zweiter Bildanhang)
zu finden. Für n=3 habe ich dazu $\begin{eqnarray*} \gamma ^{3}-3p^{2}\gamma +2p^{3} \end{eqnarray*}$ ermittelt. I hoffe damit eine allgemeine Lösung zu finden, evtl muss man das dann aber noch zeigen, mit Induktion oder einer anderen Methode. I hoffe jemand kann mir sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin, oder hat vielleicht eine andere Idee.

20.11.2010, 22:14

René Gruber

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Ich finde die Berechnung mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz einleuchtender, natürlich erst nach einer Vereinfachung der Determinante zwecks Erzeugung möglichst vieler Nullen, wie es in solchen Fällen ja oft üblich ist. Damit findet man eine Rekursionsformel für

$\begin{eqnarray*} d_n := \begin{vmatrix} \gamma & \rho & \rho & \cdots & \rho \\ \rho & \gamma & \rho & \cdots & \rho \\ \rho & \rho & \gamma & \cdots & \rho \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho & \rho & \rho & \cdots & \gamma \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

aus der man dann auch eine explizite Formel entwickeln kann. Wenn man letztere gleich erkennt, umso besser.

Zitat:

Original von MichaelJackson
Für n=3 habe ich dazu $\begin{eqnarray*} \gamma ^{3}-3p^{2}\gamma +2p^{3} \end{eqnarray*}$ ermittelt.

Was man auch als $\begin{eqnarray*} (\gamma-\rho)^2(\gamma+2\rho) \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Augenzwinkern

21.11.2010, 00:48

MichaelJackson

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Mithilfe deines Inputs habe bei der Matrix der Determinante $\begin{eqnarray*} d_{n} \end{eqnarray*}$ die letzte Zeile von allen anderen subtrahiert und erhalte die Matrix in der Determinante
$\begin{eqnarray*} d`_{n}=\begin{vmatrix} <br /> (\gamma-p) & 0 & 0 & ... & 0 & (p-\gamma ) \\ 0 & (\gamma-p) & 0 & ... & 0 & (p-\gamma ) \\ . & . & . & ... & . & . \\ . & . & . & ... & . & . \\ p & p & p & ... & p & \gamma \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich lange überlegt das irgendwie mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz hinzukriegen, was ich aber nicht geschafft habe.
Mit der Leibnizformel ging ich dann folgendermassen vor (womit, wie ich denke, das richtige Resultat herauskam):
Für alle Permutationen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} \alpha(n)\neq n \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig noch mindestens einen weiteren Eintrag der Zeile verschieben
ist der Summand $\begin{eqnarray*} sign(\alpha)a_{1,\alpha(1)}\cdot ...\cdot a_{n,\alpha(n)}=0 \end{eqnarray*}$
Für die identische Permutation erhalte ich den Summanden $\begin{eqnarray*} (\gamma -p)^{n-1}v \end{eqnarray*}$
und für alle $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ möglichen Permutationen welche nur den n-ten Zeileneintrag (also $\begin{eqnarray*} (p-\gamma ) \end{eqnarray*}$ ) mit jeweils einem Zeileneintrag zwischen $\begin{eqnarray*} 1 und n-1 \end{eqnarray*}$ vertauschen erhalte ich den Summanden $\begin{eqnarray*} (\gamma -p)^{n-2}(p-\gamma )p \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} sign(\alpha )=(-1) \end{eqnarray*}$ da es jeweils eine Vertauschung gibt.

Somit wäre die Determinante =
$\begin{eqnarray*} (\gamma -p)^{n-1}v-(n-1)(\gamma -p)^{n-2}(p-\gamma )p<br /> \end{eqnarray*}$
Da ich nun lange daran rumstudiert habe hoffe ich, dass bei einem offensichtlichen Fehler jemand dies mir melden könnte, sowie, mir jemand eine Idee geben könnte wie man die Determinante mittels Laplaceschen Entwicklungssatz finden kann.

21.11.2010, 01:06

MichaelJackson

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Ich wollte noch die Matrix in der Determinante etwas besser darstellen:

$\begin{eqnarray*} d`_{n}=\begin{vmatrix} <br /> (\gamma-p) & 0 & 0 & ... & 0 & (p-\gamma ) \\ 0 & (\gamma-p) & 0 & ... & 0 & (p-\gamma ) \\ . & . & . & ... & 0 & (p-\gamma ) \\ . & . & . & . & 0 & (p-\gamma ) \\ . & . & . & ... & (\gamma-p) & (p-\gamma ) \\ p & p & p & ... & p & \gamma \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 12:14

René Gruber

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Ja, das müsste so hinhauen. Wobei die Begründung dafür, dass auch wirklich alle Permutationen erfasst wurden, zumindest auf mich etwas unübersichtlich wirkt. Aber das ist wahrscheinlich Geschmackssache. Augenzwinkern

Ein möglicher Weg über den Entwicklungssatz geht so: Subtrahiere von der ersten Zeile die zweite:

$\begin{eqnarray*} d_n = \begin{vmatrix} \gamma-\rho & \rho-\gamma & 0 & \cdots & 0 \\ \rho & \gamma & \rho & \cdots & \rho \\ \rho & \rho & \gamma & \cdots & \rho \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho & \rho & \rho & \cdots & \gamma \end{vmatrix} = (\gamma-\rho)\cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \rho & \gamma & \rho & \cdots & \rho \\ \rho & \rho & \gamma & \cdots & \rho \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho & \rho & \rho & \cdots & \gamma \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Anschließend subtrahiere von der ersten Spalte die zweite:

$\begin{eqnarray*} d_n = (\gamma-\rho)\cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \rho-\gamma & \gamma & \rho & \cdots & \rho \\ 0 & \rho & \gamma & \cdots & \rho \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \rho & \rho & \cdots & \gamma \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zweimalige Anwendung der Entwicklungssatzes (zuerst die erste Zeile, dann die erste Spalte) ergibt

$\begin{eqnarray*} d_n = 2(\gamma-\rho)d_{n-1} + (\gamma-\rho)\cdot \begin{vmatrix} \rho-\gamma & \rho & \cdots & \rho \\ 0 & \gamma & \cdots & \rho \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \rho & \cdots & \gamma \end{vmatrix} = 2(\gamma-\rho)d_{n-1} - (\gamma-\rho)^2d_{n-2} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit den beiden Startwerten

$\begin{eqnarray*} d_1 = \gamma = (\gamma-\rho)^0(\gamma+0\cdot\rho) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_2 = \gamma^2-\rho^2 = (\gamma-\rho)^1(\gamma+1\cdot\rho) \end{eqnarray*}$

ermöglicht diese rekursive Vorschrift (*) den Beweis der expliziten Formel

$\begin{eqnarray*} d_n = \gamma = (\gamma-\rho)^{n-1}(\gamma+(n-1)\rho) \end{eqnarray*}$

per Vollständiger Induktion.

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