Untervektorraum

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21.11.2010, 00:41	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum Meine Frage: hallo liebes forum ich habe hier eine aufgabe wo ich bestimmen soll ob etwas ein untervektorraum is oder nich V (Vektorraum) = $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ² U (untervektorraum) U:= {(x1,x2) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ² \| x1 =x2} Meine Ideen: ich weis das man das mit den untervektorraumaxiomen macht aber wie sieht man denn ob z.b bei der addition das ergebnis von x1 + x2 in U liegt oder nich bitte schnelle hilfeeee !!!!!!!!!!!!!
21.11.2010, 00:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal sollte man klären, ob die Menge nicht leer ist, wenn das der Fall ist, nimm dir dochmal zwei Vektoren $\begin{eqnarray} v,w\in\mathcal U \end{eqnarray}$ und addiere die beiden Vektoren, was kannst du über die Einträge des entstandenen Vektors sagen?
21.11.2010, 12:05	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man jez z.b. x1 + x2 nimmt hat man 2x1 weil nach definition gilt x1 = x2 aber woher weis ich ob das in U liegt ??
21.11.2010, 12:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du jetzt damit sagen? Zeig doch erstmal, dass die Menge nicht leer ist und verfolge danach meinen Hinweis.
21.11.2010, 12:20	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
nach der definition is die doch nich leer weil das steht ja x1 und x2 aus R² also sind ja elemente vorhanden und wenn ich mir jez x1 und x2 nehme und addieren will dann muss ja das ergebnis in U liegen aber mir is i-wie nich klar was alles in U liegt
21.11.2010, 12:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, aus der Definition folgt nicht, dass die Menge nicht leer ist. $\begin{eqnarray} \{x\in\mathbb R^2~\|~x^2+y^2=-1,~x_1,x_2\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ ist definitiv die leere Menge.
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21.11.2010, 12:34	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
vllt sollte ich so ansetzen das ich nachweise das der nullvektor drinliegt 0+0=0 => nullvektor liegt drin also is die menge nicht leer addition: a = (x1 y1) , b = (x2 y2 ) a + b: (x1 y1) + (x2 y2 ) = ((x1 + x2) (y1 + y2)) da gilt x1 = x2 => (2x1 2y1) = 2(x1 y1) ich weis nich ob das so richtig is und ich weis auch nich ob das in U liegt aber würd i-wie sinn machen weil das ja reelle zahlen sind
21.11.2010, 12:48	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Nullvektor muss sogar notwendigerweise in der Menge sein, damit es sich überhaupt um einen Unterraum handeln kann. Der Nullvektor im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist bekanntlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also erfüllt er die Bedingung um in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ zu liegen (da offensichtlich $\begin{eqnarray} x_1=x_2 \end{eqnarray}$ gilt). Dein Nachweis der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition ist wieder schief gegangen. Nimm dir zwei Vektoren, die in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},~y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\in U \end{eqnarray}$ , da diese Vektoren in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen kannst du etwas über die Einträge sagen. Wie sieht dann die Summe der beiden Vektoren aus?
21.11.2010, 12:53	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuchs nochmal also x und y sind vektoren aus U und die addition läuft ja komponentenweise also (x1 x2) + (y1 y2) da x1=x2 => (x1 x1) + (y1 y1) = ((x1 + y1) (x1 + y1)) ka ob das so richtig is
21.11.2010, 12:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, was kannst du also über die Summe von zwei Vektoren sagen, liegt dieser wieder in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ?
21.11.2010, 13:01	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke ja , denn wir haben ja hier reele zahlen und so muss meiner meinung nach auch die summe dieser in U liegen
21.11.2010, 13:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was muss der Vektor denn erfüllen, um in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ zu liegen? Ist das hier der Fall?
21.11.2010, 13:11	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaub wenn man x und y = 0 setzt dann muss wieder 0 herauskommen das is hier der fall und ich glaube das für alle vektoren ein additiv inverses existieren muss also -1 * x = -x das is hier auch der fall aber ich bin mir nich sicher ob das die bedingungen sind
21.11.2010, 13:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Inversen betrachten wir doch noch gar nicht, wir sind immer noch bei der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition. Also nochmal: Was muss ein Vektor erfüllen um in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ zu liegen? Erfüllt der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_1+y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diese Bedingung?
21.11.2010, 13:24	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
er muss in R² liegen ??
21.11.2010, 13:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Guck dir doch mal die Definition von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ an, da steht eindeutig, welche Bedingung ein Vektor erfüllen muss, um dadrin zu liegen. Du hast diese Bedingung auch schon ausgenutzt.
21.11.2010, 13:51	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
x1 = x2 also für meinen vektor hier x1 + y1 = x1 + y1 ??
21.11.2010, 14:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und das ist offensichtlich erfüllt, also ist unsere Menge bzgl. der Addition abgeschlossen. Fehlt noch die Abgeschlossenheit bgzl. der skalaren Multiplikation.
21.11.2010, 14:08	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaub das is auch erfüllt denn vektor (x1 x2)*a = (ax1 ax1) also auch erfüllt danke für deine hilfe jez weis ich nur noch nich wie man das skizieren soll kannste mir dabei vllt auch noch helfen ??
21.11.2010, 14:13	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Menge aller Vektoren, die in der $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ - und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ -Komponente jeweils übereinstimmen, schreib dir mal ein paar Vektoren explizit auf (Tipp: alle 1-Dimensionalen Unterräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ entsprechen (geometrisch gesehen) einer Geraden durch den Ursprung, was man auch leicht beweisen kann).
21.11.2010, 14:41	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
is das nich einfach ein graph der durch den nullpunkt geht und die steigung 1 hat der geht dann durch 1,1 2,2 und so weiter und natürlich auch nach unten -1,-1 -2,-2 und so weiter
21.11.2010, 15:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
21.11.2010, 15:42	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
oki vielen dank für deine hilfe sonst hätt ich morgen en leeres blatt abgeben können

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