Grenzwerte bestimmen

21.11.2010, 15:34

emotioncatcher

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Grenzwerte bestimmen

Hallo, ich brauche bei dieser aufgabe hilfe:

Seien a[o]=a , a[1]=b beliebige Komplexe Zahlen. Definiere

a[n+2]=(1/2) + (a[n] + a[n+1]).

Bestimmen Sie den Grenzwert von a[n]. (Tip: leiten Sie eine Rekursionsformel für die Differenz benachbarter Folgenglieder her.)

Um a[n+1] zu bestimmen, hab ich dann erstmal ein paar werte ausgerechnet, um zu schauen, ob sich ein Schema für a[n+1] finden lässt.

Soweit bin ich dann gekommen: a[n+1]= (1/2^n) * (x*a + y*b)
für n=1 ist x=1,y=1
für n=2 ist x=1,y=3
für n=3 ist x=3,y=5
für n=4 ist x=5,y=11
usw.
das einzige, was ich da noch rauslesen kann ist, dass x von n dem y von n-1 entspricht. weiß aber nicht wie man jetzt x,y mithilfe von n,a[n] ausdrücken kann.
hoffe mir kann jmd weiterhelfen

21.11.2010, 16:07

tohuwabou

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Wenn dein a[n+1] stimmt, kannst du doch den Grenzwert von a[n] bestimmen, da die Grenzwerte gleich sind.

21.11.2010, 16:13

emotioncatcher

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aber dazu muss ich erst mal a(n+1) fertig bestimmen und dafür muss ich dass x und y noch anders ausdrücken. das bekomm ich allerdings nicht hin

21.11.2010, 16:43

tohuwabou

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Mir scheint es aber auch so, dass da irgendwas nicht ganz zusammen passt,

Oben schreibst du $\begin{eqnarray*} a[n+2]=\frac{1}{2} + a[n] + a[n+1] \end{eqnarray*}$

und etwas weiter unten wäre $\begin{eqnarray*} x=1=y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a[n+1]=(\frac{1}{2})^n *(x*a+y*b) \end{eqnarray*}$

Hier nach wäre $\begin{eqnarray*} a[2]=\frac{1}{2}*(a+b) \end{eqnarray*}$ und nach der Formel oben

$\begin{eqnarray*} a[2]=\frac{1}{2} +a[0] +a[1] = \frac{1}{2} + a +b \end{eqnarray*}$

Das kommt doch schon nicht hin.

Soll da oben vielleicht ein Mal stehen anstatt + ?

21.11.2010, 16:58

emotioncatcher

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tut mir leid, da hab nen schreibfehler gemacht. ja, da gehört ein mal hin. danke =)

21.11.2010, 17:27

tohuwabou

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Ok, ist ja kein Problem.

Also ich hab mir das mal aufgeschrieben, und hab jetzt eine Vermutung , wie man $\begin{eqnarray*} a[n] \end{eqnarray*}$ angeben kann. Kannst du ja mal überprüfen , ob es hinkommt.

$\begin{eqnarray*} a[n+2]=(\frac{1}{2})^{n+1}((n(n-1)+(-1)^{n+1})a + ((n+1)n+(-1)^{n+1})b) \end{eqnarray*}$

Edit: Kommt noch nicht ganz hin, wie du bestimmt schon gemerkt hast .

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21.11.2010, 17:40

emotioncatcher

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das geht zwar schon in die richtige richtung, aber kann noch nicht ganz richtig sein. dein a[1] entspricht zum bsp. dem a[3], wenn man die geg. formel anwendet.
und für a[2] erhäkst du (1/8)*(a+5b), wenn dass dann a[4] entsprechen würde müsste vor dem a eine 3 stehen...

Edit: hab grade gesehn, dass du es schon selbst bemerkt hast =)

21.11.2010, 17:59

emotioncatcher

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bin noch ein bisschen weitergekommen:
also als ansatz hatte ich ja schon:
a[n]=(1/2^(n-1)) *(x[n]a+y[n]b)
hab jetzt einfach mal x und y für die zahlen vor a und b gewählt.
und hab dann folgendes erhalten:
y[n]=2^n - 2^(n-1) + 2^(n-2) - 2^(n-3) ... +oder- 2^(n-n)
x[n]=2^(n-1) - 2^(n-2) + 2^(n-3) - ... -oder+ 2^(n-n)
hab das auch für ein paar werte geprüft und es passt.
aber wie schreibt man das nun ohne "..." ? Vllt als Summe?

21.11.2010, 18:00

tohuwabou

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Ich glaub inzwischen das es für größere n völlig falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Da muss man wohl nochmal weiter gucken.

21.11.2010, 18:05

tohuwabou

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ja , $\begin{eqnarray*} y[n] \end{eqnarray*}$ kann man dann z.B. schreiben als

$\begin{eqnarray*} y[n]= \sum_{i=0}^n (-1)^i*2^{(n-i)} \end{eqnarray*}$

21.11.2010, 18:08

emotioncatcher

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hab mir gerade gedacht, ob man x und y überhaupt definieren muss, um den grenzwert zu bestimmen. denn 1/2^(n-1) konvergiert ja gegen null und damit
ja auch (1/2^(n-1)) * (x*a+y*b), egal was x und y sind oder?

21.11.2010, 18:20

tohuwabou

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Bei solchen Dingen bin ich immer vorsichtig, weil man bei solchen Aussagen immer schnell daneben liegen kann, wenn man x und y nicht angibt, da sie ja auch von n abhängen.

Ich glaube aber , dass du damit schon recht hast. Würde das aber gerne bestätigt kriegen , von irgendwem , der sich da besser auskennt Big Laugh

Big Laugh

21.11.2010, 18:49

tohuwabou

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Ach, ich war gerade was essen und da ist mir eingefallen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(x_n*y_n)= \lim_{n \to \infty}x_n *\lim_{n \to \infty}y_n \end{eqnarray*}$

Und selbst wenn der eine Grenzwert Unendlich wäre, ist ja $\begin{eqnarray*} 0*\infty =0 \end{eqnarray*}$ , von daher wirds wohl stimmen.

Hast du denn deine Formel mal überprüft, obs korrekt ist?

21.11.2010, 18:51

emotioncatcher

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ja, für die ersten 5werte etwa, hab ichs einfach ausprobiert, da hats auch gepasst
danke für deine hilfe =)

21.11.2010, 18:52

Cel

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Zitat:

Original von tohuwabou
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(x_n*y_n)= \lim_{n \to \infty}x_n *\lim_{n \to \infty}y_n \end{eqnarray*}$

Und selbst wenn der eine Grenzwert Unendlich wäre, ist ja $\begin{eqnarray*} 0*\infty =0 \end{eqnarray*}$ ,

Das stimmt im Übrigen nicht.

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n}, \; y_n = n \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz beider Folgen braucht man schon.

21.11.2010, 19:05

tohuwabou

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Sag ich doch, bei sowas bin ich vorsichtig smile

smile

, Danke

Edit: d.h. also man kann hier nicht einfach sagen, dass der Grenzwert 0 ist.

21.11.2010, 19:50

emotioncatcher

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ok, dann werde ich eben die konvergenz von x und y auch noch bestimmen =)
danke für den hinweis

21.11.2010, 22:16

emotioncatcher

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hab jetzt als grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ * ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 2^{n-k}*(-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ ) *a + ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 2^{n-k}*(-1)^{k+2} \end{eqnarray*}$ )*b)
= $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}} *(-1)^{k} \end{eqnarray*}$ *a + $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-1}^n-1 \frac{1}{2^{k}}*(-1)^{k} \end{eqnarray*}$ ) *b

ist das dann nicht eine unbestimmt divergente folge?
also sowie $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ =(-1)^n * n

*b und *a gehören nicht zu den hochzahlen, auch wenns teilweise ein bisschen so aussieht. die zwischenschritte hab einfach mal weggelassen, wäre für mih zu mühselig gewesen mit dem formeleditor

22.11.2010, 13:56

tohuwabou

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Also nach dem, was ich hier auf die Beine gestellt hab, würd ich eher sagen es konvergiert, da :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}} ((\sum_{k=1}^n 2^{n-k} (-1)^{k+1} )a + ( \sum_{k=0}^n 2^{n-k} (-1)^k )b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{2^{n-1}} (( \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}(-1)^{k+1})a +(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}(-1)^k)b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} 2((\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}(-1)^{k+1}-(-1))a +(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}(-1)^k)b) \end{eqnarray*}$ \\hier hab ich den Summanden für k=0 in der ersten Summe abgezogen, um die Summe bei k=0 loslaufen zu lassen

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} 2(((-a)\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2^k} + b\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2^k} +a) \end{eqnarray*}$ \\ hier hab ich (-1) aus der Summe rausgezogen , um ausklammern zu können im nächsten Schritt.

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} 2((\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2^k}(b-a) +a) \end{eqnarray*}$

Würde also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2^k}(b-a)) \end{eqnarray*}$ konvergieren und wäre der Grenzwert , sagen wir mal $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , dann wäre der Gesamtgrenzwert $\begin{eqnarray*} c+2a \end{eqnarray*}$ .

Nach dem Leibniz Kriterium für Reihen , kann man folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2^k}(b-a)) \end{eqnarray*}$ konvergiert , da $\begin{eqnarray*} \frac{(b-a)}{2^k} \end{eqnarray*}$ eine monotone Nullfolge ist.

Wie man aber jetzt den Grenzwert bestimmt , weiß ich nicht.

Wenn das falsch ist, würd ich mich über Verbesserung freuen Big Laugh

Big Laugh

22.11.2010, 15:23

Manni Feinbein

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Ich mag mich nicht durch diese umständlichen Rechnereien wühlen.
Ich geb mal eine kurze Übersicht, der wesentlichen Schritte.

Wenn Du den Tipp befolgst erhältst Du zunächst:

$\begin{eqnarray*} a_{k+2}-a_{k+1}=-\frac 12(a_{k+1}-a_k). \end{eqnarray*}$

Induktiv folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}-a_k=\left(-\frac 12\right)^k(b-a). \end{eqnarray*}$

Nun gilt aber:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a=\sum_{k=0}^n(a_{k+1}-a_k). \end{eqnarray*}$

Die Summanden dieser Summe kannst Du durch die zuvor ermittelte Formel
ersetzen und dann mit der geometrischen Summenformel weiter auswerten,
so dass Du am Ende erhalten solltest (zur Kontrolle):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{a+2b}3. \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 18:06

emotioncatcher

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das ist wohl der elegantere lösungsweg. hatte mich heute auch nochmal an die aufgabe mit ein paar mitstudenten gesetzt und wir sind auf das gleiche gekommen wie du. trotzdem noch danke

@tohuwabou: das mit dem komplizierten grenzwert fällt dann ja zum glcük weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

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