Hilfe!! Integralhausaufgabe!!

18.06.2004, 17:38	Little_Miss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe!! Integralhausaufgabe!! Ich brauch mal wieder dringend Hilfe!!! Könnte mir einer diese Aufgabe ganz genau erklären???!!! Versteh die Aufgabe einfach nicht!!! Little Miss
19.06.2004, 11:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Dazu nimmst du den Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt an. Dessen Gleichung ist dann: $\begin{align} x^2 + y^2 = r^2 \end{align}$ bzw. $\begin{align} y = \sqrt{r^2 - x^2} \end{align}$ Das bestimmte Integral dieser Funktion in den Grenzen von 0 bis r ist dann die Fläche des Viertelkreises, daraus kann man ja dann den Halb- oder Vollkreis bestimmen. Dieses Integral ist mittels der Substitution: x = rcos(t) zu lösen. Diese nach t differenzieren: dx = -rsin(t)dt Daher ist es auch naheliegend, die Kreisgleichung von vornherein als Parametergleichung: x = rcos(t) y = rsin(t) zu schreiben. Im Endeffekt ergibt sich dasselbe Ergebnis. $\begin{align} \frac{A}{4} = \Bigint_{0}^r~y~dx \end{align}$ $\begin{align} \frac{A}{4} = \Bigint_{0}^r~r \cdot sin(t)~dx \end{align}$ dx von oben ersetzen: $\begin{align} dx = -r \cdot sin(t) \end{align}$ ; für die Grenze x = 0 ist t = PI/2 für die Grenze x = r ist t = 0 r² vor das Integral $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2\cdot\Bigint_{\frac{\pi}{2}}^0~sin^2(t)~dt \end{align}$ Nunmehr liegt eine verhältnismäßig leicht zu integrierende Funktion vor, die auch in den Tabellen zu finden ist .... Gegebenenfalls werde ich die weitere Rechnung noch ergänzen. Gr mYthos
19.06.2004, 12:25	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich weiß nicht, wie alt du bist, aber am einfachsten geht es, wenn man einfach den folgenden Ausdruck berechnet: $\begin{align} \iint_K dA \end{align}$ K ist hier natürlich deine Viertelkreisfläche. In Polarkoordinaten kann man dieses Integral im Kopf lösen. Man muss nur $\begin{align} dA=r\,\sin(\phi) \end{align}$ wissen, was man sich aber auch sehr schnell herleiten kann.
19.06.2004, 13:15	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Little_Miss: Falls du keine Ahnung hast, was das bedeutet - dann vergiss es wieder, es geht auch so, wie mYthos schreibt. Philipp: Am einfachsten geht es so, wenn man dieses Verfahren kennt. Ich weiß, wie man ein Doppelintegral lösen kann, und ich hab schonmal eine Funktion in Polarkoordinaten integriert, aber andere nicht. Da du ja, wie du schreibst, nicht weißt, wie alt Little_Miss ist, läufst du Gefahr, sie mit deinem Beitrag mehr zu verwirren, als ihr zu helfen. Ohne Altersangabe und sonstigen Hinweis auf bekanntes Wissen sollten wir, wenn es möglich ist, die Grenzen der Schulmathematik nicht überschreiten. Erst wenn der Fragesteller zu erkennen gibt, dass er über weiteres Wissen verfügt, oder bereit ist, sich das anzueignen, sollten wir weitergehen. (Diesen Rat sollten sich auch andere Helfer zu Herzen nehmen!) Deine Hinweise, dass bestimmte Dinge nicht mit Mitteln der Schulmathematik lösbar sind, und wie sie dann mit anderen Mittel lösbar sind, sind jedoch sehr willkommen. Gruss, SirJective
20.06.2004, 15:13	Little_Miss	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank! Ich werde es mal versuchen!! (wie gesagt ich bin in solchen Dingen eine Niete !!) Little Miss
21.06.2004, 22:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ist also noch dieses bestimmte Integral zu berechnen: $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2 \cdot \Bigint_{\frac{\pi}{2}}^0~sin^2(t)~dt \end{align}$ Nach einer trigonometrischen Formel (2. Summensatz) ist 2sin²(t) = 1 - cos(2t), daher kommt $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2 \cdot (1/2) \cdot \Bigint_{\frac{\pi}{2}}^0~(1-cos(2t)~dt \end{align}$ $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2 \cdot (1/2) \cdot \[(t - \frac{sin(2t)}{2})\]_{\frac{\pi}{2}}^0 \end{align}$ $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2 \cdot (1/2) \cdot \[-\frac{\pi}{2}\] \end{align}$ $\begin{align} \frac{A}{4} = -r^2 \cdot [-\frac{\pi}{4}\] = r^2 \cdot \frac{\pi}{4} \end{align}$ $\begin{align} \frac{A}{4} = \frac{r^2 \cdot {\pi}}{4} \end{align}$ Gr mYthos
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