vektoren in abhängigkeit von Zeit

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16.11.2006, 11:10	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
vektoren in abhängigkeit von Zeit Hallo alle zusamen, ich habe hier eine Hausarbeit bei der ich sehr schlecht voran komme. weil mir dieses abstrakte Vorstellungsvermögen inoch nicht richtig geschult ist. Zwei Flugzeuge A und B fliegen auf der Selben Höhe über dem Grund. Nehmen SIe an die Erde wäre eine Scheibe und die Flugzeuge würden sich mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten Va ( 690 km/h) und Vb (640km/h) geradlinig über den Grund bewegen. Um 0 Uhr sei A a km (200km) und b km (150km) vom gedachten Schnittpunkt S der Flugrichtungen, die einen Winkel von alpha° bilden, entfernt. (äußere Einflüsse kann man vernachlässigen) jetzt soll ich das QUadrat des Euklidischen Abstands der Flieger als Funktion der ZEit t bestimmen! dazu noch den engsten Annäherung tmin und sowie den dazugehörigen Euklidischen Minimalabstand dmin. Abschlißend noch beweisend dass es nur einen solchen Punkt gibt und nicht mehrere! ich bedanke mich schon im vorraus für eure Bemühungen
16.11.2006, 14:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Vermissen lässt wieder einmal, was du zu dieser Aufgabe schon selbst überlegt hast, eigene Ansätze und konkrete Problembeschreibung. Kannst du etwas mit dem Begriff 'Euklidischer Abstand' anfangen bzw. hast du dich darüber informiert? Die Distanz der beiden Flugzeuge lässt sich aus dem gegebenen Winkel und den beiden anliegenden Seiten ( $\begin{eqnarray} a - ... \ und \ b - ... \end{eqnarray}$ ) rasch ermitteln. Für die Pünktchen setzt du den Weg ein, den die Flugzeuge in der Zeit t zurückgelegt haben. Diese ist eine Funktion der Zeit, die nun (auf bekannte Weise?) zu minimieren ist. mY+
16.11.2006, 23:22	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja! ich weiß was das euklischer Abstand ist. Ich habe versucht die Aufgabe per Vektorenrechnung zu lösen. mein erster Ansatzt ist: $\begin{eqnarray} \vec{d} = \begin{pmatrix} b - v_bt \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} sin \beta a - v_at\\ cos \beta a - v_at \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weil d=b-a. Anschließend habe den Betrag von dem Abstand gebildet und ihn quadriert. Danach löse ich die Gleichung auf und erhalte eine quadratische Gleichung. Und dann habe ich die erste Ableitung daraus gebildet und nach t umgestellt und wieder in die obere Vektorgleichung eingesetzt um den Abstand zu erhalten. Nun ist das richtig? und reicht es?
16.11.2006, 23:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich kann schon zu Anfang deinen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ nicht so bestätigen. Du hast offensichtlich die Bahn der Flugzeuges B als x-Achse angenommen. Dann stimmt jedoch der zweite Vektor nicht. Dazu hättest du zuerst die Gleichung der Geraden a aufstellen müssen. Und welches ist der Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ? In der Angabe scheint allerdings nur $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auf. Da sich die Bewegungen alle in der gleichen Höhe abspielen, erscheint eine planimetrische Behandlung einfacher: Die beiden Seiten $\begin{eqnarray} a - v_at \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b - v_bt \end{eqnarray}$ schließen miteinander den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ein, somit folgt aus dem Cos - Satz für den Abstand d: $\begin{eqnarray} d^2 = (a - v_at)^2 + (b - v_bt)^2 - 2(a - v_at)(b - v_bt)cos\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d^2 \end{eqnarray}$ ist bereits das Quadrat des euklidischen Abstandes und eine Funktion der Zeit. Du kannst jetzt entweder die Werte für $\begin{eqnarray} a, b, v_a, v_b \ und \ \alpha \end{eqnarray}$ einsetzen und dann diese Funktion minimieren, oder noch allgemein weiterrechnen. Hilft das so weit? mY+ Hinweis:: Für die Berechnung mit besonderen Zahlenwerten muss auch der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gegeben sein!
17.11.2006, 01:35	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vektoren in abhängigkeit von Zeit JA sehr! ich geh jetzt mal schlafen und morgen rechne ich weiter danke noch einmal vielmals
17.11.2006, 01:36	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
alpha ist auch gegeben! und beta hab ich mir ausgerechnet, weil der winkel über 90° groß ist!
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17.11.2006, 11:05	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun habe ich die Werte eingesetzt und alles ausgerechnet (soviele Zahlen!!!!) und jetzt habe ich auf der einen Seite d² und auf deranderen eine quadratische Glechung stehen. Kann ich da d²=f(t) setzten ? damit ich die erste ableitung draus ziehen kann?
18.11.2006, 01:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das kannst du! Gibst du mir noch den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bekannt, dann kann ich's nachrechnen. mY+
19.11.2006, 21:46	Stefanie_krause	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du mir heholfen hast. Aber ich habe nach Hilfe für Mathe gesucht und gefunden. Dass bissel zusammen rechnen kann auch ein kleines Kind. danke für alles
22.11.2006, 21:48	python	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ich rechne gerade ein bisschen an einer ähnlichen aufgabe rum. kurz zum verständnis.. bitte meinen gedankengang korrigieren oder bestätigen: - die formel wie sie mythos dargestellt hat muss einmal abgeleitet werden - errechnung von t durch die abgeleitete formel - einsetzen von t in die ausgangsfunktion - ziehen der wurzel des ergebnisses - ergebnis = minimalabstand stimmt das so? danke und gruß gregor
23.11.2006, 00:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Stefanie Deine Antwort klingt schon etwas hochmütig! Offenbar hast du Hilfe für "Mathe" gesucht und hier nicht (sondern wo anders) gefunden?? Und das dann "a bissl zusammenrechnen" kann ja eh jedes kleine Kind - wozu dann dieses Board? Traurig! mY+ @python Stimmt so, geht ja auch aus dem Thread hervor. Unter "Ziehen der Wurzel des Ergebnisses" ist die Bestimmung von d aus $\begin{eqnarray} d^2 \end{eqnarray}$ zu verstehen. Vielleicht noch das: Das Quadrat bzw. die Wurzel der Funktion hat an denselben Stellen ihre Extremwerte! Das benützt man, wenn man Funktionen mit unbequemen Wurzelausdrücken zu diskutieren hat, zur 2. Vereinfachung der Ansatzfunktion, indem man diese einfach quadriert. Somit hat $\begin{eqnarray} d(t)^2 \end{eqnarray}$ und d(t) die gleichen Extremstellen. mY+

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