Erzeugnis

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21.11.2010, 17:40	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugnis Hallo, sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} F-VR \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein Körper. Seien $\begin{eqnarray} S, T \subset V \end{eqnarray}$ . Zu beweisen sind folgende Aussagen: 1) Es gilt $\begin{eqnarray} <S> = <T> \end{eqnarray}$ genau dann wenn sich jedes $\begin{eqnarray} s \in S \end{eqnarray}$ als Linearkombination von Vektoren aus $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ darstellen lässt und umgekehrt. 2) Es gilt $\begin{eqnarray} <S> + <T> = <S \cup T> \end{eqnarray}$ Zu 1) Wenn sich jedes $\begin{eqnarray} s \in S \end{eqnarray}$ als Linearkombination von Vektoren aus $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ darstellen lässt, dann gibt es $\begin{eqnarray} t \in T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in F \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \lambda_1 t_1 + ... + \lambda_n t_n = s \end{eqnarray}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray} s \in S \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} <S> \end{eqnarray}$ ist ja gerade als die Summe aller Vektoren, die ich als Linearkombination weiterer Vektoren aus $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ darstellen kann. Wenn ich nun jedes s \in S als Linearkombination mit Vkeotren aus T darstellen kann, dann folgt die Gleichheit daraus. Ist dieser Gedankengang richtig? Ich weiß nicht wie ich das formalisieren bzw. formal beweisen kann. Zu 2) Hier scheint es intuitiv korrekt, dass die Addition der beiden Summen gleich der Vereinigung ist. Sei $\begin{eqnarray} s \in (<S> + <T>) \Rightarrow s \in <S> v s \in <T> \Rightarrow s \in (<S> \cup <T>) \end{eqnarray}$ Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass man das nicht so einfach machen kann.
22.11.2010, 08:05	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte hier vielleicht noch jemand drübergucken? Am Sonntag gehen leider viele Aufgaben unter. :/
22.11.2010, 08:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Zeige beide Teilmengen. Beachte dass ein Raum A Unterraum von einem Raum B ist, falls sich alle Vektoren eines Erzeugendensystems von A als Linearkombinationen in B schreiben lassen. Zu 2) Da ist nichts großes dabei. Wie sehen Linearkombinationen der linken bzw. rechten Seite aus?
22.11.2010, 08:42	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
2) Also, $\begin{eqnarray} <S> \end{eqnarray}$ enthält alle $\begin{eqnarray} s \in S \end{eqnarray}$ , die sich als Linearkombination mit Vektoren aus $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ anschreiben lassen. Dasselbe gilt für T. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i s_i} + \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i t_i} = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i s_i} \cup \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i t_i} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \in F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i = 1...n \end{eqnarray}$ . Hast du das so gemeint? Zu 1) kann ich dann ja schreiben: Zunächst gilt als Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i s_i} = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i t_i} \end{eqnarray}$ ür alle $\begin{eqnarray} \lambda \in F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i = 1...n \end{eqnarray}$ . Da gilt, dass sich alle Vektoren eines Erzeugendensystems eines Unterraumes in dem Raum als Linearkombination schreiben lassen und insbesondere jeder Raum Unterraum von sich selbst ist, dann folgt aus der Voraussetzung <S> = <T> direkt die Behauptung, dass sich alle Vektoren aus S als Linearkombination von Vektoren aus T anschreiben lassen.
22.11.2010, 08:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein <S> enthält nicht alle s in S die ..., sondern alle Elemente die sich als LK von Elementen aus S schreiben lassen. Was soll die Vereinigung von Summen bedeuten?
22.11.2010, 09:07	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Vereinigung von zwei Summen enthält sowohl alle Elemente der ersten als auch die der zweiten Summe. In diesem Fall eben alle Elemente von <S> und alle Elemente von <T>. Entsprechend der Addition. Aber das ist ja kein formaler Beweis.
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22.11.2010, 09:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist nicht einmal syntaktisch korrekt. Was soll den ein Element einer Summe sein? Eine Summe ist doch keine Menge. Gehe einmal streng nach Definition vor!
22.11.2010, 09:26	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i s_i} \end{eqnarray}$ ist die Summe aller Elemente, die sich als Linearkombination von Elementen aus S schreiben lassen. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i t_i} \end{eqnarray}$ ist die Summe aller Elemente, die sich als Linearkombination von Elementen aus T schreiben lassen. Oder ist der Ansatz mit der Summenschreibweise schon nicht korrekt? Dann habe ich deine Hinweise falsch verstanden. Ansonsten enthält die Vereinigung der beiden Summen eben alle Elemente, die sich als Linearkombination von Elementen aus S schreiben lassen und alle Elemente, die sich als Linearkombination von Elementen aus T schreiben lassen.
22.11.2010, 10:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein du benutzt die Summenweise falsch. Wenn du es als Menge haben willst, so ist $\begin{eqnarray} <S> = \{\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i \mid n\in \mathbb N, s_i\in S \forall 1\leq i\leq n\} \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} <S\cup T> \end{eqnarray}$ ?
22.11.2010, 11:04	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut der Definition der Vereinigung gilt: $\begin{eqnarray} <S \cup T> = \{\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \mid n\in \mathbb N, (v_i\in <S>) \vee (v_i \in <T>) \forall 1\leq i\leq n\} \end{eqnarray}$ Ist das soweit korrekt? Wenn $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ entweder in $\begin{eqnarray} <S> \end{eqnarray}$ oder in $\begin{eqnarray} <T> \end{eqnarray}$ enthalten ist, dann natürlich auch in $\begin{eqnarray} <S>+<T> \end{eqnarray}$
22.11.2010, 19:21	Strohmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich melde mich nochmal. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das hier: $\begin{eqnarray} <S \cup T> = \{\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \mid n\in \mathbb N, (v_i\in <S>) \vee (v_i \in <T>) \forall 1\leq i\leq n\} \end{eqnarray}$ prinzipiell korrekt ist. $\begin{eqnarray} <S\cup T> \end{eqnarray}$ ist ja die Vereinigung aller Elemente aus $\begin{eqnarray} S, T \end{eqnarray}$ , die sich als Linearkombination aus Elementen von $\begin{eqnarray} S, T \end{eqnarray}$ schreiben lassen. Wenn man ein beliebiges Element v_i aus $\begin{eqnarray} <S\cup T> \end{eqnarray}$ nimmt, dann weiß man, dass es entweder in $\begin{eqnarray} <S> \end{eqnarray}$ oder in $\begin{eqnarray} <T> \end{eqnarray}$ liegen muss. Folgt daraus schon, dass $\begin{eqnarray} <S> + <T> = <S \cup T> \end{eqnarray}$ ?

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