Welche der folgenden Mengen sind Unterräume

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curo Auf diesen Beitrag antworten »
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume
Meine Frage:
Hi Leute, hab da ne kurze Frage:
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des Vektorraums Pn der Polynome vom Grad\leq n über \mathbb R?
(a) U1 := \left\{pPn I Grad p(x) 2 oder p(x)=0 x\right\}
(b) U2 := { p\in Pn I p(0)=0\right\}
(c) U3 := \left\{ p\in Pn I p(x)=\sum\limits_{i=0}^n ai\cdotx^i mit aj=0 falls j ungerade\right\}


Meine Ideen:
Nun im Grunde muss ich drei Voraussetzungen erfüllen können.
Vorweg einer von denen ist kein Unterraum. So jetzt zu den Voraussetzungen:
1) es darf sich um keine Leere Menge handeln
2) x,y\inU (Unterraum) : x+y\inU
3) a\in\mathbb R : a\cdotx\inU
Irgendwie kann ich damit aber alle drei als Unterräume identifizieren.
??? Das einzige wo ich aber irgendwie bisschen Zweifel habe wäre die (b), da es sich (glaub ich zumindest) um eine Konstante handelt, nicht um eine Funktion (uns ist p(0) gegeben nicht p(x)).
Danke im Voraus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der a) lässt sich recht schnell ein schönes Gegenbeispiel finden. Augenzwinkern
 
 
curo Auf diesen Beitrag antworten »
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume

Meine Frage:
Hi Leute, hab da ne kurze Frage(Hier noch mal sauber aufgeschrieben, da ich anfänger im Umgang mit dem Formeleditor war, und da ich einen wichtigen Tippfehler hatte):
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des Vektorraums der Polynome vom über
(a) { oder }.
(b) { }.
(c) { mit falls ungerade}.

Meine Ideen:
Nun im Grunde muss ich drei Voraussetzungen erfüllen können. Vorweg einer von denen ist kein Unterraum. Ich soll das mit diesen Voraussetzungen beweisen, dass eins von denen kein Unterraum ist, deswegen ist ein Gegenbeispiel schlecht an der Stelle glaub ich, da wir eigentlich nicht wissen das eins von denen kein Unterraum ist (das geht aus der Aufgabenstellung ja nicht hervor).
So jetzt zu den Voraussetzungen:
1) es darf sich um keine Leere Menge handeln.
2) (Unterraum) .
3) .
Irgendwie kann ich damit aber alle drei als Unterräume identifizieren. ???
Das einzige wo ich aber irgendwie bisschen Zweifel habe wäre die (b), da es sich (glaub ich zumindest) um eine Konstante handelt, nicht um eine Funktion (uns ist gegeben nicht ).
Was meinst du genau mit einem Gegenbeispiel, etwa das ich gucken soll was mit passiert. In diesem Fall wissen wir doch eigentlich nur, dass es so aussehen müsste . Das wäre doch auch ein Unterraum oder nicht?
Danke im Voraus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es existiert ein sehr einfaches Gegenbeispiel, durch das die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition verletzt wird.

Betrachte , dann ist auch (Warum?), nutze diese beiden Polynome um zu widerlegen, dass es sich um einen Unterraum handelt.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde da stehen (p+q) (x)= 2x²+x für alle x aus R.
Schön und gut aber die Abgeschlossenheit der Add. sehe ich allein schon durch die gewählten Funktionen als verletzt an, denn p(x)=x² muss immer 0 ergeben für alle x aus R. Das tut es aber nicht: p(1)=1²=1
Sorry, villeicht bin ich einfach zu doof, aber warum diese Funktionen ausgesucht hast ist mir irgendwie nicht klar?????????
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum muss das denn immer 0 ergeben? Guck dir doch bitte mal genau die Definition deiner Menge an.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

}.
oder Blick ich hier nicht durch
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Und welches wichtige Wörtchen steht davor? unglücklich
curo Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht ein und/oder?
liege ich hier falsch
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss zwigend f(x)=0 für alle x sein?
curo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es ein und/oder ist, würde icch irgendwie ja sagen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dir mal Gedanken über das schöne Wort "oder" machen...

Entweder der Grad des Polynoms ist größer/gleich 2 ODER es ist das Nullpolynom ODER beides.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt schreibe:
da Grad von p(x) größer/gleich 2 können wir folgende Funktionen betrachten
, und
Nun wenn wir dies auf Abgeschlossenheit der Addition im Vektorraum prüfen: kommen wir auf
. Da aber dadurch Voraussetzung p(x)=0 verletzt ist. Ist handelt es sich nicht um einen Unterraum von V.
Bin ich dann fertig?? Oder hab ichs immer noch nicht









,
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast es noch immer nicht. unglücklich

Es ist vollkommen egal, ob nicht für alle erfüllt ist, es reicht uns, wenn ODER für alle ist. Solange eine dieser Bedingungen erfüllt ist, liegt das Polynom in dieser Menge.

Außerdem: nur durch das Addieren dieser Polynome erzeugst du kein Gegenbeispiel, du musst davor noch eine weitere Umformung machen.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann darf ich nicht zwischen den beiden hin und her switschen, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischen was "hin und her switschen"? verwirrt
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber meine Frage war eigentlich welcher dieser Mengen kein Untervektorraum ist. Ist glaub ich ein Missverständnis. Du hast gezeigt das U1 ein Unterraum ist. Ich wollte aber auf das Gegenteil Kommen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hab ich denn bitte gezeigt, dass U1 ein Unterraum ist? geschockt
curo Auf diesen Beitrag antworten »

zwischen den Beiden Vorraussetzungen
Eine von beiden muss für alle x gelten aus R, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was für Vorraussetzungen? Wovon redest du gerade?
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deinem Beispiel hast du gezeigt, dass p(x) in Pn liegt also in U1.
Du hast aber was von Gegenbeispiel erzählt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dir zwei Polynome vorgegeben die geeignet addiert die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition widerlegen, du musst das nur noch richtig kombinieren.

Außerdem ist die Angabe eines Beispiels für einen Beweis nie ausreichend!
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Grad p(x)größer/gleich 2 und P(x)=0 das waren die Voraussetzungen
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum soll das nicht ausreichend sein, wenn wir doch davon ausgehen dass im ALLGEMEINEN die Addition abgeschlossen ist, wir es aber mit einem Beispiel wiederlegen könnten
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein GEGENbeispiel, das ist ein großer Unterschied.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Beispiel nicht ausreichen sollte, warum hast du eigentlich mit einem Gegenbeispiel angefangen
Sorry habs gelesen. Ich nimms ja zurück
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

Ein Beispiel als Beweis für eine Aussage ist nicht zulässig, wenn du allerdings ein Gegenbeispiel findest um eine Aussage zu widerlegen, dann ist das natürlich ausreichend.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Was stellst du dir unter richtig kombinieren vor?
Was icch da geschrieben hab ist keine Addition?
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
Bin ich blöd
p(x)=x² (von diesem können wir auch das Inverse nehmen)
q(x)=x²+x
also: x²-x²+x=x somit Grad von p(x) kleiner als 2
daher Wiederspruch
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Was hätten wir denn eigentlich bei U2
Ich mein da steht p(0)=0 und dann keine Weitere Bedingung
soll ich daraus schließen p(1)=1, p(2)=2...p(x)=x
oder für alle x p(x)=0??
oder gibt es nur dieses eine Polynom
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von curo
somit Grad von p(x) kleiner als 2
daher Wiederspruch


Nicht von p(x), aber der Gedanke stimmt, ja. Der Grad des entstandenen Polynoms ist 1 und es gilt auch nicht für alle .

In U2 sind alle Polynome, die bei eine Nullstelle haben, die anderen Werte die angenommen werden sind egal.

Edit: Übrigens musst du mir nicht zu jedem einzelnen Unterraum auch noch eine Email mit dem Inhalt deiner Posts schreiben.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wegen den Mails Big Laugh
Aber Danke für deine Hilfe
Bei U2 hätten die das aber irgendwie erwähnen können in der Aufgabenstellung, da wären meine Kommiltonen auch nicht drauf gekommen gkaub ich
Danke nochmals
Viele Grüße
Zero00000 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht warum wir einfach das inverse von p (x) nehmen können. außerdem verstehe ich die Aufgabenstellung nicht ganz.... was heißt Pn des Polynome vom Grad (größer gleich) n über R?

Danke im voraus!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen die Menge wäre ein Unterraum, dann folgt mit auch .
Zero00000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würden wir schreiben: -p(x)+q(x)=-x(hoch 2) + x(hoch 2)+x= x ?
und wollte nochmal wegen Aufgabenstellung frage.
Danke!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man das dann aufschreibt ist relativ egal, du kannst auch schreiben, das ist vollkommen egal.
Zero00000 Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist mit c? ich verstehe nicht wo j herkommt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die beziehen sich auf die Koeffizienten, eigentlich sollte es " falls j ungerade für alle " heißen.
Bruni Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist j (element) {0,......,n} mit j ungerade

und i (ele´ment) {0,....,n)

ist damit dann i ungerade = j gemeint?

Dann hieße es ja, dass jede 2te stelle gleich null sein würde

also dass im Polynom nur gerade i´s im index sind

p(x)=
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Menge enthält nur die "geraden" Polynome.
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