Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?

22.11.2010, 12:04

Stephanie_2010

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Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?

Welche der folgenden Mengen sind Unterräume in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ ?
a.) $\begin{eqnarray*} {\vec{x} : x_{1}=0 oder x_{n}=0}; \end{eqnarray*}$
b.) $\begin{eqnarray*} {\vec{x} : x_{1}+x_{2}\geq0}; \end{eqnarray*}$
c.) $\begin{eqnarray*} {\vec{x} : x_{1}=0 und x_{n}=0}; \end{eqnarray*}$
d.) $\begin{eqnarray*} {\vec{x} : \sum\limits_{i=1}^n x_{i}=0}; \end{eqnarray*}$

Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das angehen soll!!
Danke für eure Hilfe.

22.11.2010, 12:05

Iorek

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Du hast doch bestimmt schonmal was von Vektorräumen und Untervektorräumen bzw. den Unterraumkriterien gehört.
[Artikel] Untervektorraum

22.11.2010, 12:20

Stephanie_2010

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Ja hab ich!
Hab den Artikel jetzt auch gelesen, hilft nur leider nicht viel weiter.

22.11.2010, 12:27

Iorek

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Deine Rückmeldung auch nicht.

Welche Kriterien müssen erfüllt sein, damit es sich um einen Unterraum handelt? Überprüfe diese.

22.11.2010, 12:37

Stephanie_2010

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Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V heißt Unterraumvon V, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{u},\vec{v}\in U\Rightarrow \vec{u}+\vec{v}\in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{u}\in U,\lambda \vec{u}\in \mathbb R \Rightarrow \lambda \vec{u}\in U \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 12:39

Iorek

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Also müssen wir erstmal überprüfen, ob unsere Mengen nicht leer sind.

Dazu könnte man ja mal im Artikel nachschlagen, denn dort heißt es so schön:

Zitat:

Original von tigerbine
Bei 1 bietet es sich immer an, zu prüfen ob der Nullvektor enthalten ist. Ist das nicht der Fall, wird U kein UVR sein.

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22.11.2010, 13:19

Stephanie_2010

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okay und wie mach ich das?

22.11.2010, 13:35

Iorek

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Indem du prüfst, ob der Nullvektor in der Menge enthalten ist.

22.11.2010, 13:38

Stephanie_2010

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ja dessen bin ich mir bewusst. nur weiß ich nicht wie ich das mach....

22.11.2010, 13:39

Iorek

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Wie sieht der Nullvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ aus, erfüllt er die Bedingung um in deiner Menge enthalten zu sein?

22.11.2010, 13:45

Stephanie_2010

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der wäre (0,0,0)
bei a z.b. ist da x1 die länge eines vektors?
das versteh ich nämlich auch nicht ganz.

22.11.2010, 13:50

Iorek

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Zitat:

Original von Stephanie_2010
der wäre (0,0,0)

Das wäre aber nur für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ der Fall. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Stephanie_2010
bei a z.b. ist da x1 die länge eines vektors?
das versteh ich nämlich auch nicht ganz.

Ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i\in \mathbb R,~1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 13:55

Stephanie_2010

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zu teil1: dann steh ich an!
zu teil2: d.h. ich habe einen vektor der entweder x=(0,.......) oder x=(.....,0)?

22.11.2010, 14:05

Iorek

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Mir scheint du solltest dich nochmal mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ generell vertraut machen, du scheinst extrem große Lücken in den Grundlagen zu haben. Geh mal ganz von den Unterräumen weg und wiederhole die grundlegenden Dinge zum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bzw. allgemein zu Vektorräumen.

Direkt noch dazu: ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist von der Form $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i\in\mathbb R,~1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 16:15

Stephanie_2010

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Das is mir schon klar. Nur hätt ich das beispiel mit meinen Skripten lösen können, hätte ich es nicht gepostet.
und was ich vorher gmeint habe war eher:
dass:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \vec{x}: x_{1}=0 oder x_{n}=0\right\} \end{eqnarray*}$
im prinzip bedeutet, dass einmal beim Vektor x1=0 ist und dann xn=0?
Es reicht völlig, wenn du mir das vl an dem Beispiel vorzeigen könntest.

22.11.2010, 16:30

Iorek

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Nein, es reicht wenn einer dieser Einträge 0 ist.

Es steht aber noch immer die Frage im Raum, wie der Nullvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ aussieht, den Nullvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ hast du schon angegeben, verallgemeiner das jetzt doch einfach.

22.11.2010, 16:38

Stephanie_2010

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i\in\mathbb R,~1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ .

und da hab ich gmeint, dass bei mir in der angabe es so ausschaut, dass ich einen vektor habe bei dem x1=0 oder xn=0.
okay um das jetzt zusammenzufassen. Da einer der Einträge im Vektor null ist, ist die Menge ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 16:42

Iorek

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Zitat:

Original von Stephanie_2010
und da hab ich gmeint, dass bei mir in der angabe es so ausschaut, dass ich einen vektor habe bei dem x1=0 oder xn=0

Du hast oben geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, das ist ein großer Unterschied.

Aber dass die Menge ein Unterraum ist, ist damit noch lange nicht gezeigt, bisher haben wir nur, dass der Nullvektor in der Menge liegt, die Menge also nicht leer ist. Du musst noch zeigen, dass die Menge abgeschlossen bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in U \Rightarrow a+y \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R,x\in U \Rightarrow ax\in U \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 16:44

Stephanie_2010

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Nein ich hab oder geschrieben!
Okay, werd das mal versuchen....

22.11.2010, 16:52

Iorek

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Zitat:

Original von Stephanie_2010
im prinzip bedeutet, dass einmal beim Vektor x1=0 ist und dann xn=0?

Soviel zu oder unglücklich

unglücklich

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