Basis ergänzen von C^4

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flager Auf diesen Beitrag antworten »
Basis ergänzen von C^4
Moin,
ich muss folgende aufgabe bearbeiten und habe nicht wirklich die ahnung, wie ich daran gehen soll.

"Zeigen sie, dass die Vektoren (-1,i,i,-1) und (1,i,1,2i) linear unabhängig sind. Ergänzen sie diese Vektoren zueiner Basis von C^4. "

Kann mir irgendjemand helfen und tipps geben ?
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RE: Basis ergänzen von C^4
Was müssen denn Vektoren erfüllen, wenn sie linear unabhängig sein sollen?

Ist das Schulmathe?
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
es muss ja gelten :

-1a+b=0
ia+ib=0
ia+b=0
-1a+2ib=0

=> a,b=0 , daraus folgt, dass die beiden liniear unabhängig sind.

aber jetzt komme ich nicht weiter.
hier steht dass ich die zu einer basis ergänzen soll, habe ich denn schon eine ?
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RE: Basis ergänzen von C^4
Nun ja, du hast schon mal 2 linear unabhängige Vektoren. Allerdings spannen diese nicht den C^4 auf. Du brauchst also noch weitere vektoren, so daß diese zusammen mit den vorgegebenen Vektoren eine Basis bilden.
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
und weil das C^4 ist, ist das vierdimensional und deswegen brauche ich vier unabhängige vektoren, die dann eine basis bilden ?
d.h. ich muss die andern beiden belibig so wählen, dass alle vier unabhängig sind ?
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RE: Basis ergänzen von C^4
Genau.
 
 
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
also habe ich dann die Basis:

B=(v1,v2,v3,v4)

mit v1=(-1,i,i,-1); v2=(1,i,1,2i); v3=(i,2,3,4); v4=(5,4,3,2)

ist das so richtig, oder müssen bei den vektoren v3 und v4 mindetens an zwei stellen ein i stehen, weil wir uns ja im C-Vektorraum C^4 befinden.
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
Zitat:
Ist das Schulmathe?


nein, bin im ersten semester und neu angemeldet hier, habs ausversehen hier gepostet.
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RE: Basis ergänzen von C^4
Zitat:
Original von flager
mit v1=(-1,i,i,-1); v2=(1,i,1,2i); v3=(i,2,3,4); v4=(5,4,3,2)

ist das so richtig, oder müssen bei den vektoren v3 und v4 mindetens an zwei stellen ein i stehen, weil wir uns ja im C-Vektorraum C^4 befinden.

Nein, das ist nicht erforderlich. Allerdings ist nicht auf Anhieb klar, ob diese Vektoren wirklich linear unabhängig sind. Ich hätte eher v1 und v2 zeilenweise in eine Matrix geschrieben und diese auf Zeilenstufenform gebracht. Dann geht das Ergänzen viel leichter:



Da kann man ganz einfach den 3. und 4. Einheitsvektor nehmen.
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
ja das mit der zeilenstufenform hatte unser prof auch am ende kurz angeschrieben, habe aber kp wie das so funktioniert und weiß deswegen auch nich warum das dann einfacher geht.
kannst du das dann bitte einmal kurz erläutern mit einem beispiel und zwei vektoren, also sozusagen die aufgabe nochma lösen aber auch anderer art.
stimmt denn mein ergebnis sonst ?
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RE: Basis ergänzen von C^4
Zitat:
Original von flager
kannst du das dann bitte einmal kurz erläutern mit einem beispiel und zwei vektoren, also sozusagen die aufgabe nochma lösen aber auch anderer art.

Habe ich gemacht. Siehe meinen vorigen Beitrag.

Zitat:
Original von flager
stimmt denn mein ergebnis sonst ?

Kann ich leider nicht sagen, da ich keine Lust habe, die 4 Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, was obendrein eh deine Aufgabe wäre.
flager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis ergänzen von C^4
also ich bin mir ziemlich sicher, dass die linear unabhängig sind.
dann hab ich also die aufgabe fertig.

vielen dank fürs helfen smile
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

und sind die Einheitsvektoren oder?
Bin in den komplexen Zahlen immer noch etwas unsicher.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
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