Folgerung bzgl. Endomorphismen und Eigenwerte

22.11.2010, 14:12

Eyvan

Folgerung bzgl. Endomorphismen und Eigenwerte

Folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Seien f:V nach V ein Endomorphismus und -1 ein Eigenwert des Endomorphismus
$\begin{eqnarray*} f^{2}+f : v \rightarrow f (f(v))+f(v) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie das $\begin{eqnarray*} f^{3} \end{eqnarray*}$ den Eigenwert 1 hat.

Aber wie????

22.11.2010, 15:45

Cel

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Zunächst einmal geht es wie immer los: Man übersetzt.

Was bedeutet es, dass die Abbildung f²+f den Eigenwert -1 hat?

22.11.2010, 16:00

Eyvan

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Dass $\begin{eqnarray*} f^{2} +f =-1 \end{eqnarray*}$ ist????

22.11.2010, 16:01

Cel

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Nein. Schlag das dann doch lieber noch mal nach.

Was soll deine Gleichung bedeuten? Du hast dort Abbildungen stehen, es fehlt das Argument. Vielleicht meinst du ja das richtige.

22.11.2010, 16:03

Eyvan

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Etwa:
$\begin{eqnarray*} f(f(v)+f(v)=-1(v) \end{eqnarray*}$

Ich muss doch ersmal rauskriegen was so ein einzelnes f für eine Zahl ist.

$\begin{eqnarray*} f(v)=/lamda * v \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 16:10

Cel

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Genau. Schreib besser

$\begin{eqnarray*} f(f(v)) + f(v) = -v \end{eqnarray*}$

Oder auch kurz

$\begin{eqnarray*} (f^2+f)(v) = -v \end{eqnarray*}$ , mir ging es nur um das Argument.

So und jetzt jagst du über beide Seiten noch mal f drüber. Dann vereinfachst du einmal mit der Eigenschaft der Addititivität und einmal mit der Eigenschaft des Eigenwerts. Guck mal, wie weit du kommst und schreib es auf.

Wie kannst du

$\begin{eqnarray*} f((f^2+f)(v)) \end{eqnarray*}$ umformen? Wie gesagt, du musst es auf zwei Arten machen.

22.11.2010, 16:16

Eyvan

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Zitat:

Original von Cel

Wie kannst du

$\begin{eqnarray*} f((f^2+f)(v)) \end{eqnarray*}$ umformen? Wie gesagt, du musst es auf zwei Arten machen.

$\begin{eqnarray*} f((f^2+f)(v)) \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} (f^3+f^2)(v)) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(-v)=-1*-1(v) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich :
$\begin{eqnarray*} (f^3+f^2)(v))=v \end{eqnarray*}$ Ist aber iwie das f^2 zu viel...

22.11.2010, 19:19

Cel

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Zitat:

Original von Eyvan
$\begin{eqnarray*} f((f^2+f)(v)) \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} (f^3+f^2)(v)) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(-v)=-1*-1(v) \end{eqnarray*}$

Njoa ... sieht schon gar nicht so schlecht aus. Die letzte Zeile stimmt nicht, denn -1 ist Eigenwert von f² + f und nicht von f. Die sieht ein wenig anders aus.

Einmal haben wir also

$\begin{eqnarray*} f((f^2+f)(v)) = (f^3+f^2)(v) = f^3(v) + f^2(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-v) = -f(v) \end{eqnarray*}$

Zusammen: $\begin{eqnarray*} f^3(v) + f^2(v) = -f(v) \end{eqnarray*}$

Was können wir daraus machen?

29.11.2010, 12:49

Eyvan

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Hab leider keine Ahnung... traurig

29.11.2010, 16:18

Cel

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Na, komm!

Zitat:

Original von Cel
Zusammen: $\begin{eqnarray*} f^3(v) + f^2(v) = -f(v) \end{eqnarray*}$

Was folgt denn daraus?

$\begin{eqnarray*} f^3(v) = -f(v) - f^2(v) \end{eqnarray*}$

Rechts kannst du eine -1 ausklammern und dann weißt du doch noch was über einen bestimmten Eigenwert ...

29.11.2010, 22:44

Eyvan

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Erschreckend wie blind ich manchmal sein kann... geschockt

$\begin{eqnarray*} f^{3}=(-1)*f^{2}+f \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f^{2}+f \end{eqnarray*}$ hat Eigenwert -1
$\begin{eqnarray*} -1^{2}=1 \end{eqnarray*}$
Alles klar ich dank dir. Wink

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