zeigen dass zwei top. Räume nicht homöomorph sind

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
zeigen dass zwei top. Räume nicht homöomorph sind
Ich soll zeigen, dass das Intervall [0,1] nicht homöomorph zu IR ist.

Ich hab natürlich schon an einen indirekten Beweis gedacht, indem ich zeige, dass das Urbild einer offenen Menge nicht offen ist und somit die Abbildung nicht stetig ist, also kein Homöomorphismus ist, aber entweder der Ansatz ist falsch oder ich hab einfach noch nicht die richtige Menge gefunden.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

[0,1] ist kompakt, nicht.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Kompaktheit kommt erst im nächsten Kapitel
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh dann versuche sowas in der Art wie:
Jede injektive stetige Abbildung ist streng monoton und folgere die Behauptung.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Monotonie haben wie auch noch nicht definiert

wir haben bist jetzt nur definiert, was offen/abg. ist, was ein top. Raum ist etc und Stetigkeit
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du eine Aussage über die reellen Zahlen beweisen ohne Analysis? Das funktioniert so nicht!
 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

deswegen frag ich ja, was ich machen soll

bei meinem ansatz bräuchte ich das alles nicht, könnte das so nicht funktionieren?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Für deinen Ansatz brauchst du doch erst einmal eine bijektive Abbildung. Wie willst du das machen?
lego Auf diesen Beitrag antworten »

was eine bijektive Abbildung ist wissen wir, damit haben wir den Homöomorphismus definiert
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber um konkret Urbilder zu berechnen brauchst du doch auch eine konkrete Funktion. Also eine Bijektion von [0,1] nach R
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht ob ich eine konkrete brauche, ich will ja zeigen, dass es so eine nicht geben kann, dachte da eben an den satz mit offenen urbildern wieder offen bei stetigen abbildungen.

dazu wollte ich eine offen/abg menge finden, deren urbild eben nicht offen/abg. ist.

ich dachte da zuerst an IR selbst, dessen urbild muss ja [0,1] sein, [0,1] ist abg. und IR ist offen, aber IR ist ja nicht nur offen, sondern auch wieder abgeschlossen, deshalb gehts glaub ich deswegen nicht, oder vertue ich mich da gerade?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, [0,1] ist auch offen in der Unterraumtopologie. So geht es nicht. Meinen Tipp hast du ja bereits
lego Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, [0,1] ist ja offen in [0,1] Hammer

naja, dann muss ichs wohl wirklich anders machen, danke
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich weiss nicht ob Ihr Zusammenhangskomponenten hattet, bei uns kam das fast zu Beginn, deswegen ist evtl. der Ansatz auch ganz nett:

Ang. ist ein solcher Homoömorphismus. Dann ist auch die Einschränkung wieder ein solcher Homoömorphismus.

Dieses ist ein Wiederspruch, da das Bild 2 Zusammenhangskomponenten besitzt. Ist dieses nicht bekannt, so kann man das auch direkt mit dem Ziwieschenwertsatz zum Wiederspruch führen.... (f wird dann notwendigerweise nicht mehr surjektiv sein.)

mfg
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Oder man zeigt, dass f ein Max. oder Min. haben muss. Dazu wäre aber Kompaktheit dann nicht schlecht.

Grüße Abakus smile
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Hallo,

ich weiss nicht ob Ihr Zusammenhangskomponenten hattet, bei uns kam das fast zu Beginn, deswegen ist evtl. der Ansatz auch ganz nett:

Ang. ist ein solcher Homoömorphismus. Dann ist auch die Einschränkung wieder ein solcher Homoömorphismus.

Dieses ist ein Wiederspruch, da das Bild 2 Zusammenhangskomponenten besitzt. Ist dieses nicht bekannt, so kann man das auch direkt mit dem Ziwieschenwertsatz zum Wiederspruch führen.... (f wird dann notwendigerweise nicht mehr surjektiv sein.)

mfg


das erste hatten wir noch nicht, aber das mit dem zwischenwertsatz hört sich gut an.
könntest du das genauer erklären?
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