Eulersche Zahl

22.11.2010, 15:04

LoBi

Eulersche Zahl

(Eulersche Zahl) Es sei die Folge
$\begin{eqnarray*} a_n :=(1 +\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$
gegeben. Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Folge konvergiert und dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 +\frac{1}{n})^n = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
gilt. Dieser Limes ist als Eulersche Zahl e bekannt.
(a) Sei bn die Summe $\begin{eqnarray*} b_n :=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
In der Vorlesung haben wir schon gesehen,
dass die Folge ( $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ) konvergiert. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
gilt. Hinweis: Schreiben Sie an mithilfe des Binomischen Lehrsatzes als Reihe und schätzen Sie die Reihenglieder geeignet gegen die Reihenglieder von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ab.

(b) Zeigen Sie, dass die Folge ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) monoton wachsend ist. Schlussfolgern Sie, dass die Folge ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) konvergiert. Hinweis: Sie können zum Beispiel zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$ äquivalent zur Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} (1 -\frac{1}{(n+1)^2})^n \geq 1 -\frac{1}{(n+2)} \end{eqnarray*}$
ist. Zum Überprüfen dieser Ungleichung hilft es Ihnen, die Bernoullische
Ungleichung für den Ausdruck auf der linken Seite zu verwenden.

(c) Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} n \geq m \end{eqnarray*}$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{eqnarray*} a_n \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}(\frac{(n-1)}{n})\cdot\cdot\cdot(\frac{(n-k+1)}{n}) \end{eqnarray*}$

(d) Sei nun $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung in (c). Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c_n = b_m \end{eqnarray*}$ gilt. Zeigen Sie schließlich, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich muss obige Aufgaben bearbeiten, und habe da so meine Probleme mit.
Ich fange erstmal mit a) an
Ich muss also zeigen das $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 +\frac{1}{n})^n=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\frac{1}{n^k}= \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}\frac{1}{n^0} + \begin{pmatrix} n \\1 \end{pmatrix}\frac{1}{n^1} + \begin{pmatrix} n \\2 \end{pmatrix}\frac{1}{n^2} + \begin{pmatrix} n \\3 \end{pmatrix}\frac{1}{n^3}+ \cdot\cdot\cdot + \begin{pmatrix} n \\n \end{pmatrix}\frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2+ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\cdot\frac{1}{3!}+ \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{n!}\cdot\frac{n!}{(n-n)!n^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Teil mit der Abschätzung was ich nicht ganz verstehe kann ich folgendes machen ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\frac{1}{n^k}=2+ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\cdot\frac{1}{3!}+ \cdot\cdot\cdot < 2+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+ \cdot\cdot\cdot=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Es gilt doch (?):
$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{n-1}{n} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{(n-1)(n-2)}{n^2} < 1 \end{eqnarray*}$
usw...

22.11.2010, 15:32

klarsoweit

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