Radizieren Komplexer Zahl

22.11.2010, 19:11

Stahlhammer

Radizieren Komplexer Zahl

Folgender Term ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = \frac{\sqrt{2}\cdot e^{j\cdot \frac{13}{4} \pi } +1 }{e^{-j\cdot \frac{7}{2}\pi } } \end{eqnarray*}$

Durch vereinfachen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot e^{j\cdot \frac{3}{4}\pi } + e^{j\frac{3}{2}\pi } \end{eqnarray*}$

Kann ich den Term weiter vereinfachen?

22.11.2010, 19:13

Ibn Batuta

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Wie kommst du auf diesen Ausdruck?

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:25

Stahlhammer

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wie kommst du auf diesen Ausdruck?

$\begin{eqnarray*} x^{4} = \frac{\sqrt{2}\cdot e^{j\cdot \frac{13}{4} \pi } +1 }{e^{-j\cdot \frac{7}{2}\pi } } = \frac{\sqrt{2}\cdot e^{j\cdot \frac{13}{4} \pi } }{e^{-j\cdot \frac{7}{2}\pi } } + \frac{1}{e^{-j\cdot \frac{7}{2}\pi } }= \sqrt{2} \cdot e^{j\left(\frac{13}{4}\pi - \left(-\frac{7}{2}\pi \right) \right) } + e^{j\cdot \frac{7}{2}\pi } = \sqrt{2} \cdot e^{j \frac{27}{4}\pi } + e^{j\cdot \frac{7}{2}\pi }= \sqrt{2} \cdot e^{j \frac{3}{4}\pi } + e^{j\cdot \frac{3}{2}\pi } \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 19:50

Ibn Batuta

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Sollte im allerletzten Ausdruck als Exponent nicht 7/2 stehen anstatt 3/2? Ansonsten sieht das soweit gut aus.

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:53

Stahlhammer

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Ich hab die Exponenten jeweils "vereinfacht", da eine volle Umdrehung ja 8/4 bzw 4/2 sind, dies habe ich dann in den Exponenten abgezogen.

Wie fahre ich dennjetzt fort?

Kann ich die beiden e-Funktionen noch zusammenfassen?
Oder wie kann ich jetzt Radizieren? Jeder Summand für sich sicherlich nicht oder?

22.11.2010, 20:00

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} e^{j\cdot \frac{3}{2}\pi} \end{eqnarray*}$ ist also das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} e^{j\cdot \frac{7}{2}\pi} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:17

Stahlhammer

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Ja, denn 2 pi sind eine Drehung um 360° (da stimmst du mir zu, ne?)
So, 2 pi erweitert auf 4/2 pi .
4/2 pi habe ich dann von 7/2 pi abgezogen, da die Differenz immer noch die Zeigerstellung von 7/2 pi darstellt, ich habe eben nur eine volle Drehung abgezogen.

Anderes Beispiel:
Du hast deinen Zeiger bei 10° stehen.
Drehe diesen zeiger um 360° so, ergibt sich für deinen Zeiger ein Winkel von 370°.
Zeigt der Zeiger jetzt nicht immer noch in die gleiche Richtung? Augenzwinkern

22.11.2010, 20:21

René Gruber

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RE: Radizieren Komplexer Zahl

Zitat:

Original von Stahlhammer
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot e^{j\cdot \frac{3}{4}\pi } + e^{j\frac{3}{2}\pi } \end{eqnarray*}$

Kann ich den Term weiter vereinfachen?

Soweit ist erstmal alles richtig. Die algebraische Form davon sieht aber erheblich einfacher aus. Augenzwinkern

22.11.2010, 20:35

Stahlhammer

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ja, daran habe ich auch schon gedacht, meinst du also:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = \sqrt{2} \cdot \left(\cos(135°)+ j\cdot \sin(135°) \right) + \left( \cos(270°) + j\cdot \sin(270°) \right) \end{eqnarray*}$ ?

Ich komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = - 1+ \frac{\sqrt{2}- 2 }{2} \cdot j \end{eqnarray*}$

richtig?

22.11.2010, 20:39

René Gruber

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Genau. Aber rechne die Winkelfunktionswerte auch aus, das sind schließlich "glatte" Zahlen.

Zitat:

Original von Stahlhammer
Ich komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = - 1+ \frac{\sqrt{2}- 2 }{2} \cdot j \end{eqnarray*}$

richtig?

Nein, falsch. Mangels ausführlicher Rechnung weiß ich aber nicht, wo genau du den Fehler gemacht hast.

22.11.2010, 20:50

Stahlhammer

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Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = \sqrt{2} \cdot \left(\cos(135°)+ j\cdot \sin(135°) \right) + \left( \cos(270°) + j\cdot \sin(270°) \right) \\ = \sqrt{2} \cdot \left(- \frac{1}{2}\sqrt{2}+ j\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) +\left( 0+ j\cdot \left(-1\right) \right) = - 1+ \frac{1}{2} \sqrt{2}\cdot j- j = - 1+ \frac{\sqrt{2}- 2 }{2} \cdot j \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 20:53

René Gruber

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Tja, mit komplexen Zahlen rumoperieren, aber die einfachsten Regeln wie das Distributivgesetz vergessen. Also nochmal:

Wie groß ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot \left(- \frac{1}{2}\sqrt{2}+ j\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert?

22.11.2010, 20:58

Stahlhammer

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ahhhh

Es kommt raus: $\begin{eqnarray*} x^{4} = -1 \end{eqnarray*}$ raus.

Danke für deine Hilfe, jetzt komme ich alleine weiter smile

22.11.2010, 20:59

René Gruber

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Genau.

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