Käfer - DGL

16.11.2006, 15:27

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Käfer - DGL

Lösen Sie die folgende Aufgabe aus dem Leben eines Käfers auf dem Gummiband.
Gegeben sei ein beliebig dehnbares Gummiband auf der x-Achse. Ein Ende des
Gummibandes werde bei x = 0 festgehalten. Das freie Ende entfernt sich mit der konstanten
Geschwindigkeit v1 vom festen Ende. Zur Zeit t = 0 habe das Band die Länge
L > 0 und zu dieser Zeit beginnt ein Käfer bei x = 0 mit der konstanten Geschwindigkeit
v2 relativ zum Band auf diesem entlang zu kriechen. Errreicht er immer das andere Ende
und wenn ja, nach welcher Zeit?

das ist meine Aufgabe...

ich verstehe leider den Wortlaut nicht ganz genau...
erster Punkt ist die Richtung des Käfers - er läuft doch auch in positive x-Richtung oder?
und dann noch: läuft er auf dem Band, so dass seine Geschwindigkeit quasi v2 + v1 ist? oder läuft er neben dem Band her, so dass er nur seine Eigengeschwindigkeit hat?

16.11.2006, 15:35

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Käfer - DGL
Vielleicht hilft das hier: Schnecke auf einem gummiband

16.11.2006, 17:35

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

hat leider nicht geholfen - die anderen hatten dass nie, dass das Band gleichmäßig verlängert wird...

aber ich versteh die Aufgabe immer noch nicht, was heißt es, dass sich der Käfer relativ zum Band bewegt?

Weil wenn er quasi auf dem Band draufsteht und von dort aus anfängt loszukrabbeln, dann verlängert sich zwar das Band, aber er steht ja drauf, also legt er zeitgleich denselben Weg zurück, dann wäre die Frage ja nur, wann er durch seine Eigengeschwindigkeit die Anfängslänge des Bandes erreicht hat... - aber das hat ja nichts mit DGL zu tun...

16.11.2006, 17:49

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich in dem genannten Thread schon gesagt habe: Das gleichmäßige Ziehen vereinfacht sogar die Lösung, im Vergleich zu dem ruckartigen Ziehen (jede Stunde o.ä.).

16.11.2006, 17:58

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich bin immer noch nicht schlauer, wie die Aufgabe gemeint ist!!!

16.11.2006, 19:22

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Mal wieder so eine schicke Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du legst dir einfach am Anfang erstmal eine x-Koordinate des Käfers zum Zeitpunkt t fest. Wo ist das Band zu der Zeit???
Wenn das Band gleichmäßig gedehnt wird, dann ist die Geschwindigkeit des Bandstückchens bei x wie gegeben???
Damit erhälst du nämlich schon deine Dgl, die übrigens eine lineare Dgl erster Ordnung ist!

Hoffe du kommst damit weiter.. Mach doch mal ne Skizze!

Anzeige

17.11.2006, 19:41

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Skízze hab ich schon gemacht...

also käfer ist ja laut aufgabenstellung am anfang bei x=0.

und das Band hat überall die Konstante Geschwindigkeit v1. Also ist die Geschwindigkeit doch gar nicht von x abhängig?

Was ich noch überlegt habe, wenn der Käfer auf dem Band steht, denn wird er ja beim ausdehnen des Bandes auch mit weitertransportiert... aber das ist abhängig von der gesamtlänge des bandes, weil immer unterschiedlich viel "neues" Band dazu kommt, relativ gesehen...

ich werd den Gedanken mal verfolgen - falls er falsch ist, sagt bescheid, damit ich mir nicht unnötig den kopf zerbreche...

17.11.2006, 19:45

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sunwater
und das Band hat überall die Konstante Geschwindigkeit v1. Also ist die Geschwindigkeit doch gar nicht von x abhängig?

Wenn das so wäre, würden sich beide Enden gleich schnell bewegen, damit ändert das Band ja seine Länge nicht. Wie soll das gehen, wenn ein Ende im Nullpunkt festgebunden ist? Außerdem denk an die Bezeichnung "Gummiband" !!!

EDIT: Machen wir mal ein einfaches Beispiel: Unser Gummiband sei 1 m lang, bei 30 cm (vom Nullpunkt aus) mache ich eine rote Markierung. Jetzt dehne ich das Band auf 1,20 m. Wo ist jetzt die rote Markierung, bei angenommener gleichmäßiger Dehnung des Gummibandes über seine gesamte Länge?

18.11.2006, 09:55

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen bei 36 cm... - richtig?

18.11.2006, 12:42

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und wenn wir mal weiter annehmen, diese Dehnung ist in einer Sekunde passiert, dann ist $\begin{eqnarray*} v_1 = 20 ~ \text{cm/s} \end{eqnarray*}$ , während sich der rote Punkt nur mit $\begin{eqnarray*} 6 ~ \text{cm/s} \end{eqnarray*}$ bewegt hat, also nicht mit $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ . Allgemein kann man aufgrund dieser "proportionalen" Geschwindigkeit sagen, dass ein Käfer an Position $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sich mit Geschwindigkeit

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) = \frac{x(t)}{x_E(t)} v_1 + v_2 \end{eqnarray*}$

bewegt, wobei $\begin{eqnarray*} x_E(t) \end{eqnarray*}$ die Position des Bandendes zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Der erste Summand rührt von der Dehnung des Gummibandes, der zweite ist die Käferbewegung selbst.

19.11.2006, 20:04

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Ich habe mal wieder die gleiche Aufgabe, und komme nun beim Lösen der DGL nicht weiter...
Ich erhalte ja eine lineare inhomogene Dgl erster Ordnung. Also bestimme ich erstmal die Lösung der homogenen Dgl mit

$\begin{eqnarray*} x'(t)=\cfrac{v_1}{L+v_1\cdot t}\cdot x(t) \end{eqnarray*}$

das kann ich ja auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} x_h(t)=v_1\cdot\int\cfrac{x(t)}{L+v_1t}~\dd t \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn dieses Integral lösen? Was mache ich denn mit meinem $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ ???

Ich habs schon in Mathematica eingegeben, aber der behandelt das $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ dann wie $\begin{eqnarray*} x\cdot t \end{eqnarray*}$ und nicht als Funktion traurig

traurig

Hab auch irgendwo ne Lösung mit der zweiten Ableitung als Beschleunigung des Käfers gesehen, aber man muss es doch auch so lösen können...

danke schonmal Wink

Wink

19.11.2006, 20:09

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Die homogene DGL

$\begin{eqnarray*} x'(t)=\cfrac{v_1}{L+v_1\cdot t}\cdot x(t) \end{eqnarray*}$

löst man zweckmäßig durch Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x'(t)}{x(t)} =\frac{v_1}{L+v_1\cdot t} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x(0)}^{x(t)} \frac{\dd x}{x} = \int\limits_0^t ~ \frac{v_1}{L+v_1\cdot \tau}~ \dd \tau \end{eqnarray*}$

19.11.2006, 20:20

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent:

Mathematica liefert mir dann für das rechte Integral:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{t v_1}{L+v_1t} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt doch gar nicht, oder??? Wenn ich das ableite komme ich nicht auf diesen Ausdruck (oder ich hab mich mal wieder verrechnet...)

Hatte nicht dran gedacht, dass ich ja das $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ auch auf die linke Seite ziehen darf...

19.11.2006, 20:23

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du (oder Mathematica) so treibst, aber man sollte auch so erkennen, dass die rechte Seite (unbestimmt) integriert $\begin{eqnarray*} \ln(L+v_1\cdot \tau) \end{eqnarray*}$ ergibt...

19.11.2006, 20:33

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mist

LOL Hammer

Ableitung des Nenners ist doch der Zähler - also ist es doch ganz einfach. Sorry, hab ich einfach nicht gesehen, mich verwirren die ganzen Variablen und Konstanten verwirrt

verwirrt

Hab in Mathematica

code:
1:	\(Integrate[v\/\(L + vt\), t]\)

eingegeben, und da rechnet der das aus??? Keine Ahnung.

Na ja, ich komme jetzt auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x(t)=L+v_1\cdot t \end{eqnarray*}$

Aber ich habe ja nun gar keine Konstante mehr drinn. Wie kann ich da meine lineare DGleichung lösen??? Sonst hatte ich immer Variation der Konstanten gemacht zur Finden einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung...

19.11.2006, 20:38

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist dir wohl zwischendurch die Integrationskonstante abhanden gekommen. Dann suche die mal!

19.11.2006, 20:43

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich habe doch bestimmt integriert, da habe ich doch eigentlich gar keine Konstante, oder???

Ansonsten hätte ich ja:

$\begin{eqnarray*} x(t)=c\cdot (L+v_1t) \end{eqnarray*}$

Jetzt Variation der Konstanten???

19.11.2006, 20:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Freude

19.11.2006, 21:03

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent: Vielen, vielen Dank Wink

Wink

Ich habe jetzt als Lösung der DGL:

$\begin{eqnarray*} x(t)=c\cdot(L+v_1t)+\cfrac{v_2}{v_1}\ln(L+v_1t)(L+v_1t) \end{eqnarray*}$

Hoffe, dass das jetzt stimmt!

Jetzt will ich ja noch rauskriegen, ob der Käfer je das Ende erreicht. Da ich weiß, dass der Käfer zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x(0)=0 \end{eqnarray*}$ startet, ist

$\begin{eqnarray*} x(t)=\cfrac{v_2}{v_1}(L+v_1t)\ln\left(\cfrac{L+v_1t}{L}\right) \end{eqnarray*}$

OK, wenn das stimmt, werd ich morgen mal weiter rechnen...

Also nochmal vielen lieben Dank

Gott

Gott

19.11.2006, 21:05

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Freude

Freude

19.11.2006, 23:53

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

So, auf ein letztes - hat mir jetzt keine Ruhe mehr gelassen dieser tolle Käfer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es sollte ja jetzt noch berechnet werden, wann der Käfer das Ende erreicht. Dafür bezeichne

$\begin{eqnarray*} X(t)=L+v_1t \end{eqnarray*}$

die Koordinate des Gumminbandes nach der Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
Also erreicht er das Ende genau dann wenn gilt: $\begin{eqnarray*} x(t_o)=X(t_0) \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} X(t)=L+v_1 t_0=\cfrac{v_2}{v_1}(L+v_1 t_0)\ln\left(\cfrac{L+v_1 t_0}{L}\right)=x(t) \end{eqnarray*}$

Umgestellt nach $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} t_0=\cfrac{L}{v_1}\left(\exp\left(\cfrac{v_1}{v_2}\right)-1\right) \end{eqnarray*}$

Also: Der Käfer erreich immer das Ziel, ausgenommen er bewegt sich nicht, d.h. $\begin{eqnarray*} v_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, dass das stimmt, und ich endlich schlafen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2006, 01:01

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von vektorraum
Der Käfer erreich immer das Ziel, ausgenommen er bewegt sich nicht, d.h. $\begin{eqnarray*} v_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zumindest, wenn er so alt wird und das Gummiband sehr dehnbar ist: Ich hab die Aufgabe z.B. das erste Mal mit den Zahlenwerten

$\begin{eqnarray*} L=1~\text{m} ,\quad v_1=50~\text{cm}/\text{s},\quad v_2=2~\text{cm}/\text{s} \end{eqnarray*}$

gehört - oje... Big Laugh

Big Laugh

20.11.2006, 21:09

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Mmhh, aber das ist ja das faszinierende an den Aufgaben - sie sind so nah an der Realität Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hatten ja vor kurzem auch diese tolle Aufgabe mit der Ente, die ja angeblich immer das andere Ufer erreicht... Wenn man das nem Biologen erzählen würde, der würde sich ja glattweg die Haare sträuben Hammer

Hammer

22.11.2006, 18:25

jol2040

Auf diesen Beitrag antworten »

jo also bei Mathematica kann man das ganze wenn man Bock hat auch richtig eingeben: \!\(Integrate[v\/\(L + v*t\), t]\) dann funktioniert das auch alles (Ergebnis: Log[L + t v]).
Aber mal ne Frage, wie kommt man von
x'(t)=x*v1/xE(t)+v2 auf x'(t)=v1/(L+v1*t)*x(t), also wo ist das v2 hin?

22.11.2006, 18:36

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Es behauptet keiner, dass das dasselbe ist! Links steht eine inhomogene lineare Dgl, und rechts die zugehörige homogene lineare Dgl.

Und ein übliches Lösungsverfahren zum Finden einer partikulären Lösung der inhomogenen Dgl ist nun mal "Variation der Konstanten", und das ist hier angewandt worden.

22.11.2006, 19:53

Rauchmelder

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Ich habe die Diskussion hier mal verfolgt. Bei den Werten, die Arthur vorgeschlagen hat, bräuchte der Käfer über 4500 Jahre um das Ende des Bandes zu erreichen. Dabei hätte er mehr all 70 Mio km zurückgelegt. verwirrt

verwirrt

Stimmt das? Dann hätte nicht nur der Biolioge, sondern auch der Materialwissenschaftler was zum Haare raufen!
Vielleicht ist in der nächsten Aufgabe zu ermitteln, wie sehr sich der Durchmesser des Bandes "im Zuge" dieser Dehnung verringert? Big Laugh

Big Laugh

Gruß,
Raumel

22.11.2006, 19:55

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, Doc Brown, jetzt verstehst du mein "oje". smile

smile

22.11.2006, 20:57

jol2040

Auf diesen Beitrag antworten »

jo ich hatte das irgendwie überlesen bzw. nicht dran gedacht, das wir ja eine inhomogene lineare DGL vor uns haben -.-

Also vielleicht ist es ja auch gar nicht so vorteilhaft, vielleicht ist der Käfer in einem 1-dimensionalen Raum gefangen, der nach einer gewissen Länge abbricht (Rand des Universums) und so.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »