Untervektorräume und Dimension

22.11.2010, 21:03

algebraiker

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Untervektorräume und Dimension

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \in \mathbb R^{3}:\alpha_1+\alpha_2 = 0, -\alpha_2+\alpha_3 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V = \left\{ \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \in \mathbb R^{3}:\alpha_1+\alpha_3 = 0, \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$
zeigen, dass U und V Untervektorräume vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$
Dimension von U, V, U + V und U $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Habe bei beiden raus, dass die UVR nur das Nullelement beinhalten, kann das richtig sein?

22.11.2010, 21:14

Ibn Batuta

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Sie enthalten den Nullvektor, müssen sie ja, wenn sie UVR sind.

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:23

algebraiker02

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auch NUR den Nullvektor? So wie ich es habe

22.11.2010, 21:23

Mulder

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Zitat:

Original von algebraiker
Habe bei beiden raus, dass die UVR nur das Nullelement beinhalten, kann das richtig sein?

Da würde ich widersprechen wollen. Wie ist es denn zum Beispiel mit

$\begin{eqnarray*} u= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

im Falle von U? Oder mit

$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

im Falle von V?

Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 21:29

algebraiker02

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Ok. Da hast du Recht... mal gucken, ob ich gleich etwas bessere liefern kann

22.11.2010, 21:36

algebraiker02

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kann es sein, dass U und V selbst die Dimension drei haben?

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22.11.2010, 21:51

Mulder

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RE: Untervektorräume und Dimension

Zitat:

Original von algebraiker02
kann es sein, dass U und V selbst die Dimension drei haben?

Nein.

22.11.2010, 23:19

algebraiker03

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Jetzt steht man soll die Dimension berechnen. Nachdem man aber die Vektoren der beiden UVR bestimmt hat, merkt man, dass es nur einen l.u. Vektor geben kann. Demnach ist dim(U) = 1 = dim(V) nur darf man so folgern oder muss da explizit etwas gerechnet werden?
Komme mir ein bisschen dumm vor, wenn ich eine einzeilige Matrix da stehen habe...

22.11.2010, 23:26

Mulder

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Alle Vektoren von U beispielsweise haben ja die Form

$\begin{eqnarray*} (a1,-a1,-a1) \end{eqnarray*}$

und damit ist der Vektor (1,-1,-1) beispielsweise eine Basis. Als Argument für dim U =1 ist das okay.

22.11.2010, 23:38

algebraiker03

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OK dann werde ich das so aufschrieben.
U + V ist dann die Summe der beiden Vektoren die durch alphas dargestellt sind!?
Und der Schnitt da muss ich dann ja gucken, welche Vektoren sowohl durch die Form in U als auch durch die Form in V dargestellt werdne richtig? Naja trivialerweise auf jeden Fall der Nullvektor oder?

22.11.2010, 23:43

Mulder

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Zitat:

Original von algebraiker03
OK dann werde ich das so aufschrieben.
U + V ist dann die Summe der beiden Vektoren die durch alphas dargestellt sind!?

Das ist die Menge aller Vektoren, die sich als Summe je eines Vektors aus U und eines Vektors aus V darstellen lassen. So kenne ich das jedenfalls.

Zitat:

Original von algebraiker03
Und der Schnitt da muss ich dann ja gucken, welche Vektoren sowohl durch die Form in U als auch durch die Form in V dargestellt werdne richtig? Naja trivialerweise auf jeden Fall der Nullvektor oder?

Klar liegt der Nullvektor im Schnitt, das ist doch klar, da U und V Untervektorräume sind.

22.11.2010, 23:47

algebraiker03

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Konkret:
Ist U + V = $\begin{eqnarray*} \left(-\alpha, \alpha, \alpha, \right) + \left(\alpha, -2\alpha, \alpha, \right) = \left(-2\alpha, -\alpha, 2\alpha \right) \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2010, 23:50

algebraiker03

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Ja, dass der Schnitt den Nullvektor beinhaltet ist mir klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und da die Vektoren aus U sich nicht als Vektoren in V darstellen lassen (ausser 0) ist der Schnitt auch nur der Nullvektor, richtig? Und dim(schnitt) = 0!=

22.11.2010, 23:52

algebraiker03

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dim(schnitt)=0 das dahinter war reingerutscht...

22.11.2010, 23:57

Mulder

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Zitat:

Original von algebraiker03
Ist U + V = $\begin{eqnarray*} \left(-\alpha, \alpha, \alpha, \right) + \left(\alpha, -2\alpha, \alpha, \right) = \left(-2\alpha, -\alpha, 2\alpha \right) \end{eqnarray*}$ ?

Huh? Wie kam denn dieses Konstrukt zustande? Konkret:

$\begin{eqnarray*} U+V = \left \{u + v \, \big | \, u \in U, v \in V \right \} \end{eqnarray*}$

Und ja, die Dimension des Schnittes ist 0, weil nur der Nullvektor drin liegt.

23.11.2010, 00:09

algebraiker03

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Und U+V ist 2-dimensional, weil u aus U und v aus V l.u. sind und ich somit u und v als Basisvektoren auswählen kann und wenn ich zwei Basisvektoren habe ist dim() = 2
Wenn dem so ist, wäre eine Bestätigung schön damit ich in Ruhe schlafen kann.
Und meinerseits ein großes Dankeschön Freude

Freude

23.11.2010, 00:19

Mulder

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RE: Untervektorräume und Dimension
Es gibt da die Dimensionsformel

$\begin{eqnarray*} \dim(U+V) = \dim(U)+\dim(V)- \dim(U \cap V) \end{eqnarray*}$

Und ja, in diesem Fall ergibt das 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2010, 07:42

algebra01

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Kenne sie, nur leider wurde sie in der Vorlesung noch nicht bewiesen... unglücklich

unglücklich

aber gut, vielen Dank nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

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