[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.3 (*)

25.11.2010, 17:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
*[Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.3 ()** Gesucht ist eine Verknüpfung $\begin{eqnarray} \circ: \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,\circ) \end{eqnarray}$ zu einer Halbgruppe macht. D.h., sie muss assoziativ sein. Es irritiert mich, dass die Frage lautet "mit welcher" und nicht mit "welchen". Gibt es also nur eine Lösung? $\begin{eqnarray} x\circ y=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ y=(x+y)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ y=x-y-xy \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich nehme 3 Elemente und ändere die Klammerung. $\begin{eqnarray} (x\circ y) \circ z=x \circ z = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ (y\circ z)=x \circ y = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x\circ y) \circ z=0\circ z = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ (y\circ z)=x \circ 0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x\circ y) \circ z=x \circ z = (x+y)^2 \circ z = ((x+y)^2 \circ z)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ (y\circ z)=x \circ (y+z)^2 = (x \circ (y+z)^2)^2 \end{eqnarray}$ Nicht assoziativ. Z.B. $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ versus $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x\circ y) \circ z=(x-y-xy)\circ z = (x-y-xy) - z - (x-y-xy)z = x-y-z-xy-xz+yz+xyz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\circ (y\circ z)=x \circ(y-z-yz) = x-(y-z-yz)-x(y-z-yz) = x-y+z+yz-xy+xz+xyz \end{eqnarray}$ Wäre imho also auch nicht assoziativ.
26.11.2010, 10:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du glaubst sie sind nicht assoziativ, dann gib ein Gegenbeispiel an Die ersten beiden sind assoziativ, man kann so immer Halbgruppen bauen, unabhängig von der Grundmenge
26.11.2010, 11:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.3 Hoffentlich verletze ich mich nicht an dem Federhandschuh. $\begin{eqnarray} (2\circ 3) \circ4=(2-3-6)\circ 4 = (-7) - 4 - (-7)4 = 17 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\circ (3\circ 4)=2 \circ(3-4-12) = 2 -(-13)-2(-13) =41 \end{eqnarray}$
26.11.2010, 21:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Halbgruppen 1.3 Kurze Rückmeldung, bitte.
26.11.2010, 22:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte das wäre nicht notwendig Deine Rechenkünste in den ganzen Zahlen sehen in Ordnung aus
26.11.2010, 22:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.
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