Konvergenz Mittelwert

16.11.2006, 20:20	Analina	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Mittelwert Sei (a_n) eine gegebene Folge und A_n = (a1+...+an)/n die Folge der Mittelwerte der ersten n Folgeglieder. Zeigen Sie (wobei es günstig ist, zunächst a=0 anzunehmen): $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty } A_n = a \end{eqnarray}$ Gilt die Umkehrung dieses Schlusses? Wäre nett, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte! Danke schonmal Edit (Dual Space): LaTeX-Tags gesetzt.
16.11.2006, 20:27	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Mittelwert Diese Folge der Mittelwerte ist auch als Cesáro-Mittel bekannt. Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|A_n -a\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle n größer einem gewissen Index $\begin{eqnarray} n_0(\varepsilon) \end{eqnarray}$ ist. Edit: Den Hinweis, dass es günstig sei zuerst a=0 anzunehmen, würde ich getrost ignorieren, denn es geht auch prima ohne diese Annahme.
16.11.2006, 22:13	Analina	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön. Aber angenommen ich zeige das, dann ist doch immernoch nicht die Implikation gezeigt. Und die ist doch zentral in dieser Aufgabe, oder nicht?
17.11.2006, 10:31	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch genau dann ist die Implikation gezeigt, dennn denn deine Prämisse ist, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergiert und schließt daraus, dass $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergiert. Die Prämisse wirst du unbedingt verwenden müssen , wenn du meinem vorgeschlagenen Ansatz folgst.
17.11.2006, 13:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Analina Zum Beweis der Falschheit der Umkehrung: Gib einfach eine nichtkonvergente Folge an, wo aber die Mittelwertfolge konvergiert. Allerdings gilt folgende (Nicht-ganz-)Umkehrung: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} ~ A_n = a\;\mbox{und}\; \lim\limits_{n\to\infty} ~ a_n\;\mbox{existiert}\; \Rightarrow \; \lim\limits_{n\to\infty} ~ a_n = a \end{eqnarray}$
17.11.2006, 18:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe hier. Gruß MSS
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