Differentialgleichung durch Substitution lösen

25.11.2010, 22:19

Gipsyjack

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Differentialgleichung durch Substitution lösen

also aufgabe ist, folgende Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} y' = ( x +y )² \end{eqnarray*}$

soll gelöst werden.
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u= x+y \end{eqnarray*}$ und der Randbedingung $\begin{eqnarray*} y(1)=-1 \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} y' = (x+y)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = y' \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} u' = (u)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = du/dx = u² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! du/u² \ = \int_0^x \! dx \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln( u) = x + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= exp(x+c) \end{eqnarray*}$

resubstitution:

$\begin{eqnarray*} x + y = exp(x+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= exp(x+c) - x \end{eqnarray*}$

und anschließend die randbedingung einsetzen und nach c auflösen..

aber ich meine das is grottenfalsch smile

smile

hoffe einer kann ich korriegeren oder bestätigen Big Laugh

Big Laugh

MfG

25.11.2010, 22:23

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen

Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! du/u² \ = \int_0^x \! dx \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln( u) = x + c \end{eqnarray*}$

Das solltest du dir nochmal anschauen, vor allem die Integration auf der linken Seite.

Nebenbei ist es formal etwas ungünstig, wenn rechts die Integrationsvariable x auch als obere Grenze fungiert.

25.11.2010, 22:24

René Gruber

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Vorher lauert aber noch ein anderer gravierender Fehler:

Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} u = x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = y' \end{eqnarray*}$

Richtig ist hier $\begin{eqnarray*} u' = y'+1 \end{eqnarray*}$ .

25.11.2010, 22:35

Gipsyjack

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ah stimmt das muss ein undefiniertes integral sein oder?

was aber am integral falsch sein soll weiß ich nicht...

$\begin{eqnarray*} du = u' \end{eqnarray*}$ oder??

$\begin{eqnarray*} \int \! u'/u² \, = \int \! dx\, \end{eqnarray*}$ ist doch:

$\begin{eqnarray*} ln (u) = x + c \end{eqnarray*}$

EDIT: Müll.....

$\begin{eqnarray*} \int \! u'/u \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} ln (u) \end{eqnarray*}$

wie lös ich dann mein integral auf??

EDIT2:

ok habs raugefunden das Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} \int \! du/u² \, = -(1/u) \end{eqnarray*}$

Aber wie solls weitergehn?

25.11.2010, 22:54

René Gruber

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Auch wenn du das allem Anschein nach denkst: Mein obiger Beitrag war durchaus kein Scherz. unglücklich

unglücklich

Die Frage ist also nicht, wie es weitergeht, sondern wie es erstmal richtig losgeht.

25.11.2010, 23:05

Gipsyjack

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sch***** muss das übersehen haben, rechne heut schon den halben tag langsam geht die konzentation flöten...

das Integral muss dann:

$\begin{eqnarray*} \int \! du/(u²+1) \, \end{eqnarray*}$ lauten

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30.11.2010, 16:01

Gipsyjack

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hallo, hab die aufgabe immer noch nicht raus könnte mir jemand weiterhelfen?

bin jetzt soweit, dass ich folgendes habe:

Substitution: $\begin{eqnarray*} u = x+y => u' = y' + 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} y'= u² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du/dx = u²+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! du/ (u²+1) \, = \int \! dx \, \end{eqnarray*}$

hab dann in einer Tabelle für das linke integral folgendes gefunden:
$\begin{eqnarray*} 1/ tan(u) = x + c \end{eqnarray*}$

und wie soll das jetzt weiter gehn? wenn ich resubstit. komme ich auf
$\begin{eqnarray*} 1/ tan x+y) \end{eqnarray*}$ ; was mir auch nicht wirklich hilft...

30.11.2010, 16:15

Mulder

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
Das sollte nicht auf den Tangens, sondern auf den Arkustangens führen. Und warum kommst du nicht weiter? Du musst nach der Rücksubstitution doch nur noch nach y auflösen und die Randbedingung einsetzen.

30.11.2010, 16:36

Gipsyjack

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sry arctan bin in der zeile verrutscht smile

smile

ja aber wenn ich habe:

$\begin{eqnarray*} arctan (x+y) = x + c \end{eqnarray*}$

wie kreig ich jetzt das yaus dem arctan raus??
weil das y is doch eine Fkt und keine varibale so wie x oder?

außer ich würde schreiben:

$\begin{eqnarray*} <br /> arctan(x) * arctan(y) = x+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = tan(x)*tan(c)/x \end{eqnarray*}$

woraus folgen würde mit $\begin{eqnarray*} tan(c) = c1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = tan(x)/x * c1 \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 16:38

Mulder

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Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} arctan (x+y) = x + c \end{eqnarray*}$

Okay. Was du danach für Rechenregeln erfindest, kann ich nicht nachvollziehen.

Was ist denn die Umkehrfunktion des Arkustangens? Was passiert denn, wenn man diese auf beiden Seiten der Gleichung anwendet?

30.11.2010, 16:46

Gipsyjack

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Umkehrfunktion von arctan ist tan,
wenn ich das auf beiden Seiten mache:

$\begin{eqnarray*} <br /> x + y = tan(x+c)<br /> \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 16:48

Mulder

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Ja, mach doch weiter. Du musst jetzt nicht jeden kleinen Schritt erst bestätigen lassen.

30.11.2010, 16:52

Gipsyjack

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$\begin{eqnarray*} y= tan(1+c)/x \end{eqnarray*}$

mit der Anfangsbedingung y(1)=-1

$\begin{eqnarray*} <br /> -1= tan(1+c)/1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> tan(1+c)=-1 => c=arctan(-1)-1 => c = -46<br /> \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 16:54

Mulder

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Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} y= tan(1+c)/x \end{eqnarray*}$

Mach nochmal die Augen auf. Sowas sollte eigentlich nicht passieren.

30.11.2010, 17:02

Gipsyjack

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in dem schritt soltle es natürlich
$\begin{eqnarray*} <br /> y= tan(x+c)/x \end{eqnarray*}$

heißen

ansonsten fällt mir auf, das es unendlich viele lösungen geben muss, da der tan immer wieder -1 wird
ich glaub ich bin grad irgendwie blind

30.11.2010, 17:04

Mulder

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Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} <br /> y= tan(x+c)/x \end{eqnarray*}$

Ganz ehrlich... Fehler machen wir alle, aber sowas an der Hochschule ist schon erschreckend.

Links steht x+y und du machst daraus y, indem du durch x teilst. Ich möchte jetzt nicht so gerne die Grundrechenarten erklären müssen.

30.11.2010, 17:08

Gipsyjack

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oh man.. ja danke!

Einzellösung:

c= -1

bzw.:

c= n*pi-1

30.11.2010, 17:27

Mulder

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
Schreib mal deine DGL hin.

c=-1 stimmt allerdings...

30.11.2010, 21:28

Gipsyjack

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ich hab einfach logisch nachgedacht...

wan ist tan(x) =0? alle n * pi

da in der klammer aber x+1 steht muss mann n * pi um ein verkleinern ... also :

c = n*pi-1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+tan%28x%2B1%29

30.11.2010, 21:36

Mulder

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Das mit den n*pi brauchst du gar nicht, ist doch überflüssig, es ist doch genau die gleiche Funktion. Ich wollte eigentlich auch nur die vollständige Lösung nochmal sehen, aber offensichtlich hast du sie ja nun. Dann ist es okay.

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