FRage zu Vektorraum,Basis,Dimension |
| 26.11.2010, 08:15 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| FRage zu Vektorraum,Basis,Dimension Die Menge U := span {(1;-2;1) , (2;3;0),(3;8;-1)} ist ein Unterraum des R3. (a) Geben Sie eine Basis von U an. (b) Bestimmen Sie die Dimension von U. (c) Vervollst¨andigen Sie die Basis von U aus (a) zu einer Basis des R3. Bei a habe ich 3, da die Erzeugendesysteme linear unabhängig sind. bei b ist bei mir dim = 3 nun weiß ich nicht, was genau bei c verlangt wird und wie kann ich sie lösen...ich bitte daher um Lösungskonzept. |
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| 26.11.2010, 08:21 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast Du dich verrechnet, die 3 Vektoren sind linear abhängig. Entsprechend ist deine Antwort zu teil b) falsch. Kümmere dich erst einmal darum! |
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| 26.11.2010, 08:28 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a + 2 b +3c = 0 (1 ) -2a + 3b +8 c = 0 (2) a = c (3) aus (2) folgt : 6c + 3b = 0 --> b= -2c aus (1) folgt : 4c -4c = 0 also... wie ist das jetzt, linear abhängig ? ich dachte hier wären a = b = c = 0 |
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| 26.11.2010, 08:46 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die dritte Gleichung sagt ja a = c. Mit der zweiten erhalten wir b = -2c und mit der ersten dann c + -4c + 3c = 0 Wir haben also c beliebig aus R a = c und b = -2c Dann sind die Vektoren der Form für alle (!) c eine Lösung des Gleichungssystem. Es sollte klar sein, das wir unendlich viele nichttriviale Lösungen haben. |
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| 26.11.2010, 08:49 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das heißt also, dass es bei diesem keine Basis gibt, oder ? |
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| 26.11.2010, 08:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich gibts ne Basis. In jedem Vektorraum können wir eine Basis finden (sofern wir das Auswahlaxiom akzeptieren 
). |
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| 26.11.2010, 08:54 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In meinem Skript steht : Ein Erzeugendensystem f~p1; : : : ; ~pkg heißt Basis von U, falls ~p1; : : : ; ~pk linear unabhängig sind 
kannst du mir bitte das allg. Lösungskonzept verraten, so dass ich bei anderen Aufgaben anwenden kann ? |
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| 26.11.2010, 08:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst aus jedem Erzeugendsystem eine BAsis auswählen. Die Anzahl der BAsisvektoren ist dann kleinergleich der Anzahl der Vektoren im erzeugenden System. Ist V ein Vektorraum, so ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren eine Basis. Du musst also aus den 3 Vektoren die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren auswählen. edit : Kleine Korrektur : Eure Definition sagt nur aus, wann ein Erzeugendensystem eine Basis ist, es sagt nicht aus, ob es nicht eine andere Basis gibt. Es gilt, dass jede Basis ein Erzeugendensystem ist, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie dein Beispiel auch zeigt. |
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| 26.11.2010, 09:05 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...danke dir für den Tipp... bloß wie wird die Anzahl ausgewählt.. solche Aufgabe habe ich in der Abi-Phase noch nie gemacht.. |
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| 26.11.2010, 09:10 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk mal drüber nach was eine Anzahl ist. Wenn ich zwei Autos habe, ist die Anzahl 2, wenn ich 2 Vektoren auswähle, ist die Anzahl 2. Jetzt sollst Du die maximale Anzahl auswählen, Du sollst also soviele Vektoren wie möglich (von diesen 3) auswählen, solange sie linear unabhängig bleiben. |
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| 26.11.2010, 09:17 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
....ja, von den 3 Vektoren sind bei mir....null unabhängig.... ist es richtig ? |
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| 26.11.2010, 09:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, im "schlimmsten" Fall ist nur ein Vektor linear unabhängig (ja auch ein einzelner Vektor kann linear unabhängig sein, dann ist die DImension halt 1). Aber allein vom hinsehen sehe ich schon 2 linear unabhängige Vektoren. |
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| 26.11.2010, 12:55 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
linear abhängig ist hier gemeint , dass »1 * a + »2*b = 0 oder »3*b + »4*c = 0 ist das richtig ? |
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| 26.11.2010, 13:07 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hey hey, [1 ; -2 ;1 ] * »1 + [2;3;0] *»2 = [3;8;-1] für »1 = -1 und »2 = 2 [2;3;0] *»3 + [3;8;-1]*»4 = [1 ; -2 ;1 ] und [1 ; -2 ;1 ] »5 + [3;8;-1]»6 = [2;3;0] also 3, oder ? wie lauten nun die Basis und Dimension ? |
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| 26.11.2010, 13:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was machst Du da? Du stellst einen Vektor als linearkombination der Anderen dar. Das ist nicht deine Aufgabe. Deine Aufgabe ist es aus diesen drei die maximale Anzahl linear Unabhängiger Vektoren zu bestimmen. Wir wissen bereits , das alle 3 Vektoren linear abhängig sind. Daher ist nur noch zu schauen , ob Du ein Paar von den drei Vektoren findest, dass linear unabhängig ist. |
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| 26.11.2010, 13:23 | nguyenvietcuong1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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dann sind es 3... oder zählen auch die Vektoren, die man aus diesen 3 kreieren kann ? |
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| 26.11.2010, 13:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist 3? Die Dimension ist ganz sicher nicht 3, denn dann wäre dein Erzeugendensystem eine Basis des R³. Die Dimension des Unterraums ist zwei. Das heisst, Du musst aus diesen 3 Vektoren 2 bestimmte Vektoren auswählen und zeigen, dass sie linear unabhängig sind. |
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