Unterraum

26.11.2010, 14:40

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Unterraum

Hallo Leute, es geht um folgendes:

Sei V = $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{\mathbb R } \end{eqnarray*}$ . Entscheiden Sie ob U ein Unterraum von V ist:

$\begin{eqnarray*} U ={ {f \in V | f(1) = 1}} \end{eqnarray*}$

Also als erstes muss ich doch zeigen.
1. $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \forall u,v \in U : u+v \in U \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in V\forall u \in U: \lambda \cdot u\in V \end{eqnarray*}$

Zu 1.: $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \in U \end{eqnarray*}$
Zu 2.: $\begin{eqnarray*} f(1) + f(2) = f(3) \in U \end{eqnarray*}$
Zu 3.: $\begin{eqnarray*} f(1)\cdot \lambda \in U \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob, man das so hinschreiben kann, bitte um Tipps.
Vielen Dank

26.11.2010, 14:44

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man so nicht hinschreiben. Es gilt doch offensichtlich nicht $\begin{eqnarray*} f(1)+f(2)=f(3) \end{eqnarray*}$ für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb R ^{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ , das ist aber auch gar nicht gefragt.

Überprüf zuerst ob der Nullvektor enthalten ist, dazu gehört mehr als einfach nur schreiben $\begin{eqnarray*} f(0)=0\in U \end{eqnarray*}$ .

26.11.2010, 15:01

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja gern sofort die richtige Antwort hinschreiben, aber ich verstehe den Zusammenhang nicht so ganz. Kannst du mir das genauer erläutern was die Funktion f genau bedeuten soll?? Also f(1) = 1?

26.11.2010, 15:03

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Menge sind alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ enthalten, die $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

26.11.2010, 15:19

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok der Nullvektor müsste dann ja 0 sein. f(1) * 0 = 0.

26.11.2010, 15:21

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn der Nullvektor in diesem Vektorraum überhaupt aus? Kann der diese Bedingung überhaupt erfüllen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

26.11.2010, 15:22

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich kann doch f(1) = 1 als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen oder??
Der Nullvektor müsste doch so aussehen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.11.2010, 15:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Wir haben doch keine Spaltenvektoren gegeben sondern Funktionen.

26.11.2010, 15:29

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hab grad ein Video gesehen, was beschrieben hat, dass man Vektoren so aufschreiben kann. Aber du sagst wir sind bei Funktionen. Welche Schreibweise gilt jetzt für Funktionen?

26.11.2010, 15:31

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bleib hier mal bei der Funktionsschreibweise, das ist dadurch sehr einfach.

Wie sieht der Nullvektor in diesem Vektorraum der Funktionen aus? Wenn du das hast, kannst du eigentlich schon direkt sagen, ob es ein Unterraum ist oder nicht.

26.11.2010, 15:35

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mich so fragst dann existiert kein Nullvektor in U. Aber ich hab so meine Schwierigkeiten mit der Aufgabe unglücklich

unglücklich

traurig

traurig

Ich weiß nicht wie ich Funktionen als vektoren aufschreiben kann, damit ich endlich mit der leichten Aufgabe anfangen kann, nämlich rechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2010, 15:53

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Menge enthält alle Funktionen, die von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilden, die Elemente sind also Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ .

Der Nullvektor ist also die Funktionen, die alles auf die 0 schickt, $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

26.11.2010, 16:01

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit alle Gleichungen vom Typ f(1) = 1 zum Nullpunkt geschickt werden müsste man doch inverse suchen. Oh gott ich glaube ich rede einen Müll zusammen. traurig

traurig

26.11.2010, 16:03

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist, wie du es nennst, Müll.

Du hast den Nullvektor (die Nullfunktion), erfüllt der Nullvektor die Bedingnung $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2010, 16:05

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

nein erfüllt sie nicht, weil f(1) = 1 ist nicht der Nullpunkt.

26.11.2010, 16:07

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit dem Nullpunkt nichts zu tun, aber ansonsten hast du Recht, der Nullvektor ist nicht enthalten.

Für die Nullfunktion gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=0~\forall x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , also insbesondere $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wie siehts nun mit Unterraum/kein Unterraum aus?

26.11.2010, 16:09

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Defintion, wenn der Nullvektor nicht in der Teilmenge U enthalten ist, ist U kein Unterraum.

26.11.2010, 16:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, damit ist die Aufgabe fertig.

26.11.2010, 16:11

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe smile

smile

Ich bin im ersten Semester, ich habe in Mathe immer Einsen geschrieben, aber Studium ist was ganz anderes..es ist eine Schande, dass soviele Leute abbrechen, weil die das so schwer machen...-.-

26.11.2010, 16:15

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es anders formulieren, es ist eine Herausforderung die man annehmen muss um weiterzukommen; wer keine Arbeit investiert, wird scheitern. Wer sich aber am Anfang rein hängt schafft es auch (was natürlich nicht heißt, dass man später nichts mehr dafür tun muss). Wink

Wink

27.11.2010, 13:39

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ein neues Beispiel smile

smile

U2 = {f e V | f(42) = 0}

1. f'(0) = 0 Nullvektor enthalten.
2. f'(42) + f''(42) = 0 + 0 = 0 richtig.
3. f'(42) * f''(42) = 0 * 0 = 0 richtig.

U2 ist ein Unterraum.

Kann mir jemand bestätigen ob das richtig ist??

27.11.2010, 14:51

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

?

27.11.2010, 15:00

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bezeichnest mit f' und f'' zwei Elemente aus deinem Vektorraum, oder?

Zum Nullvektor solltest du nicht f(0) sondern lieber f(42) betrachten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine dritte Bedingung ist falsch, du musst nicht das Produkt der Vektoren bilden (was im Allgemeinen auch nicht möglich ist) sondern einen Vektor mit einem Skalar aus dem zugrunde liegenden Körper multiplizieren.

27.11.2010, 15:16

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

ja wie kann ich denn den Nullvektor aufschreiben wenn nicht mit f(0) = 0???

f(42) = 0 , ich mein da ist ja der Nullvektor drin...aber wie schreibe ich das auf?

zur Skalarmultiplikation hab ich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} (\lambda f)(42) = \lambda (f(42)) = \lambda \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

27.11.2010, 15:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nullvektor ist die Funktion, die alles auf 0 schickt, es wird doch nicht nur die 0 auf die 0 geschickt.

27.11.2010, 15:24

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Skalarmultiplikation durchgeführt, siehe oben. aber wie ich das genau mit dem Nullvektor aufschreibe weiß ich net.

27.11.2010, 15:24

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Janni87
ja wie kann ich denn den Nullvektor aufschreiben wenn nicht mit f(0) = 0???

f(42) = 0 , ich mein da ist ja der Nullvektor drin...aber wie schreibe ich das auf?

Der Nullvektor ist die Nullfunktion, für diese musst du aber zeigen, dass sie die 42 auf die Null schickt, weil das die UVR-Bedingung ist

27.11.2010, 15:27

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich da wirklich was zeigen, weil in U2 steht der Nullvektor doch schon drin.

f(42) = 0 , also die 42 wird auf die 0 geschickt. Oder mach ich mir da etwas zu einfach??

27.11.2010, 15:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Skalarmultiplikation stimmt soweit.

Und nochmal: der Nullvektor ist die Funktion, die alle Zahlen auf die 0 abbildet, schreib die Funktion einfach hin und fertig, die Bedingung ist damit auch sofort erfüllt.

27.11.2010, 15:32

Janni87

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe smile

smile

Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »