[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.4 (*)

26.11.2010, 16:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
*[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.4 ()** Automorphismen der Klein'schen Vierergruppe sind gesucht. Ich würde gerne auch noch die zyklische Gruppe mit 4 Elementen (Isomorphityp $\begin{eqnarray} \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ ) betrachten. Wenn ich Aut(G) bestimmen will, muss ich ja auch die Gestalt von G berücksichtigen. Damit also eine Bijektion auch ein Homomorphismus ist. Bei $\begin{eqnarray} \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ würde ich dann auf 3 Automorphismen kommen. Denn wenn ich das Bild eines Elementes ungleich dem neutralen festlege, sind alle anderen auch festgelegt (als entsprechende Potenz/Vielfaches) Bei $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ habe ich ihmo mehr Freiheiten und würde dann auf 6 Automorphismen kommen.
26.11.2010, 16:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.4 Wie immer - ohne irgendeine Garantie, dass es nicht Müll ist - aber die Klein'sche Vierergruppe enthält nur Elemente (außer 1) der Ordnung 2. Während Z4 Elemente der Ordnung 1,2 und 4 enthält - kann es dann überhaupt ein Isomorphismus sein?
26.11.2010, 18:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.4 Ich will nicht von der KVG in Z4 abbilden (Die beiden sind sicher nicht isomorph. Sie sind gerade die 2 Isomorphietypen für Ordnung 4). Sondern jeweils \|Aut(G)\| bestimmen.
26.11.2010, 19:18	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte zur $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ , dass ein Automorphismus auch bijektiv sein muss. Wenn deine Gruppe also von einem Element $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ erzeugt wird, so ist die Abbildung durch das Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ festgelegt und dieses muss insbesondere ein Erzeuger sein. Zur $\begin{eqnarray} C_2 \times C_2 \end{eqnarray}$ : Allgemein kann man zeigen, dass die Automorphismengruppe von $\begin{eqnarray} C_p^n \end{eqnarray}$ mit p Primzahl isomorph zur $\begin{eqnarray} GL_n(\mathbb{F}_p) \end{eqnarray}$ ist (da liegt mehr oder weniger daran, dass ich die Gruppe auch als Vektorraum auffassen kann). Deren Ordnung kann man sich kombinatorisch sehr schön herleiten. Das ist natürlich in diesem Fall ein ziemlicher Overkill, schadet aber sicher nicht, wenn man sich das mal überlegt. Insbesondere stimmt hier auch die von dir ermittelte Anzahl.
26.11.2010, 19:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei KVG stimmt es? Bei der $\begin{eqnarray} \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ ist der Fehler, dass ich jedes Element als Erzeuger angenommen habe? Da ich einen Automorphis bauen will, muss die Struktur erhalten bleiben. Also bleiben nur die Identität und $\begin{eqnarray} 1\to 1, a\to a^3, a^2\to a^2, a^3 \to a \end{eqnarray}$
26.11.2010, 20:19	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Wobei natürlich die Angabe des Bildes von a (ich nehme mal an, dass das der Erzeuger sein soll) bereits ausgereicht hätte.
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26.11.2010, 20:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wollte es nur deutlicher machen. Danke!

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