maximales rechteck in einer sinusfunktion

27.11.2010, 10:55

vestax82

maximales rechteck in einer sinusfunktion

Meine Frage:
hallo zusammen,
ich hänge da bei einer aufgabe fest.Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ im intervall $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ .Jetzt soll das maximale rechteck unter dieser Funktion berechnet werden.Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

Meine Ideen:
f(x) ist die senkrechte und u die waagrechte Seite des Rechtecks.Dann ergibt sich diese Formel für die maximale Fläche: $\begin{eqnarray*} A=\sin(x) \cdot u \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{\pi }{2}-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\sin(x)\cdot \left(\frac{\pi }{2}-x \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{\pi }{2}\cdot \sin(x) -\sin(x)\cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'=\cos(x)\cdot \left(\frac{\pi }{2}+x \right)-\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$
das habe ich jetzt vereinfacht indem ich durch cos(x)geteilt habe und erhalte
$\begin{eqnarray*} 0=x+\frac{\pi }{2} -\tan(x) \end{eqnarray*}$
Ich komm irgendwie nicht drauf wie ich jetzt x ausrechnen soll.Vielleicht hab ich auch was falsch gemacht.Wäre schön wenn Ihr mir weiterhelfen könntet

27.11.2010, 12:21

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
bist du dir sicher dass das intervall von 0 bis pi/2 ist,
und nicht von 0 bis pi ?

dann hättest du eine halbe sinusschwinung oberhalb der x-achse, in die du ein schönes rechteck reinpflanzen könntest: zielfunktion finden (fläche rechteck = länge mal breite) ..

andy

27.11.2010, 12:26

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
$\begin{eqnarray*} A'=\cos(x)\cdot \left(\frac{\pi }{2}+x \right)-\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

ist falsch,

es muss heißen

$\begin{eqnarray*} A'=\cos(x)\cdot \left(\frac{\pi }{2}-x \right)-\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

andy

27.11.2010, 12:44

vestax82

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
wie kommst du denn darauf?ich komme immer wieder auf
$\begin{eqnarray*} A'=\cos(x)\left(\frac{\pi }{2}+x \right)-\sin(x) \end{eqnarray*}$
komme darauf durch die produktregel und da gibt bei mir -*-=+ oder mache ich da was falsch?

27.11.2010, 12:53

vestax82

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
jo bin mir sicher.steht so in der aufgabenstellung

27.11.2010, 12:55

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
ich habe ebenfalls die produktregel angewendet, allerdings habe ich die zielfunktion

$\begin{eqnarray*} A=\sin(x)\cdot \left(\frac{\pi }{2}-x \right) \end{eqnarray*}$

so gelassen und nicht ausmultipliziert:

sin(x) ergibt abgeleitet cos(x)

(pi/2-x) ergibt abgeleitet -1

nun multiplizier mal aus ..

andy

27.11.2010, 12:56

vestax82

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
dass das intervall von 0 bis pi/2 geht

27.11.2010, 13:02

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion

Zitat:

Original von vestax82
dass das intervall von 0 bis pi/2 geht

ist klar, es ist ein halber sinus-bogen, um den's hier geht.

nur beim ableiten dürfest du den erwähnten fehler gemacht habe,
ich hab's grad nochmal nachgerechnet und die funktion gezeichnet.

andy

27.11.2010, 13:11

vestax82

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
ok thanx!!
habe u'v-uv' bei der produktregel angewendet und nicht
u'v+uv'.komm da immer durcheinander mit produktregel und quotientenregel.danke
aber wie berechne ich jetzt x?
ich hätte ja jetzt
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\pi }{2}-x-\tan(x) \end{eqnarray*}$ oder?

27.11.2010, 13:18

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
das x für das die zielfunktion maximal ist, kriegst du raus in dem du die ableitung zu null setzt.

ich würde dieses maximum nicht ausrechnen (geht auch, ist aber nicht völlig einfach) sondern das maximum (es liegt etwa bei 0,7) mit dem grafiktaschenrechner errechnen, was wohl genügen dürfte.

wenn du's von hand ausrechnen willst, brauchst du die trigonometrischen theoreme, die in jeder formelsammlung stehen, es läuft draus raus dass in der gleichung nur noch sin oder cos vorkommen darf.

andy

27.11.2010, 13:26

vestax82

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
kann ich das nicht übern tangens auch ausrechnen?so wie ich angegeben hab.wenn der ansatz nicht empfehlenswert ist wäre es schön wenn du mir nen tipp für die umformung geben könntest ich muss das von hand ausrechnen können da wir keine grafiktaschenrechner benutzen dürfen.

27.11.2010, 13:40

andyrue

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RE: maximales rechteck in einer sinusfunktion
ich würd's nicht mit dem tangens machen, sondern aus folgender gleichung die sich aus dem einheitskreis ergibt:

$\begin{eqnarray*} (\sin(x) )^{2} + (\cos(x) )^{2}= 1 \end{eqnarray*}$

diese gleichung kannst du entweder nach cos oder sin auflösen und diese dann in die erste ableitung einsetzen.

nun hast du eine gleichung in der entweder nur sin oder cos vorkommt, zusätzlich gibt es eine wurzel.

wurzel isolieren, quadrieren - nun läuft das ganze auf eine quadratische gleichung hinaus, wobei mit substitution gearbeitet werden muss.

aber hier führen viele wege nach rom, es kann sein das es mit dem tangens einfacher ist, ich hab solche gleichungen halt immer so gelöst und es hat auch geklappt.

andy

27.11.2010, 13:42

Leopold

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andyrue irrt. Die Gleichung kann nicht mit trigonometrischen Tricks gelöst werden. Es handelt sich hier um eine transzendente Gleichung. Du kannst die Lösung nur durch Probieren oder Näherungsverfahren wie z.B. das Newtonsche Verfahren finden. Oder du verwendest Hilfsmittel, die mit solchen Verfahren arbeiten (GTR, CAS). Für den Anfang wäre es nicht schlecht, dir einfach einmal die Graphen von $\begin{eqnarray*} f(x) = \tan x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{\pi}{2} - x \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zu skizzieren. Dann kannst du die von andyrue angegebene Lösung erkennen.

27.11.2010, 14:05

andyrue

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was mein vorredner sagt ist richtig, ich hatte das zusätzliche x übersehen, das unabhängig von den trigon. fkt ist, diese gleichung kann nicht analytisch geslöst werden,

$\begin{eqnarray*} [1-sin^{2}(x)] \cdot [\frac{\pi }{2}-x]- sin^{2}(x)=0 \end{eqnarray*}$

also bietet sich ein näherungsverfahren an, wie gesagt, in der schulmathematik machen wir das mit dem taschenrechner, der diese funktionen zur verfügung stellt.

andy

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