für jede Primzahl p>=5 ist die zahl p²-1 durch 24 teilbar

27.11.2010, 11:19

Ionel

für jede Primzahl p>=5 ist die zahl p²-1 durch 24 teilbar

Hallo, wie kann ich zeigen, das für jede Primzahl p $\begin{eqnarray*} \geq 5 \end{eqnarray*}$ die zahl $\begin{eqnarray*} p^{2} -1 \end{eqnarray*}$ durch 24 teilbar ist.

Ich weiß leider nicht wie ich daran gehen kann und soll.

danke schonmal im vorraus

27.11.2010, 12:06

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} 24 = 2^3 \cdot 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^2-1=(p-1)(p+1) \end{eqnarray*}$ .

Also bleibt zu zeigen, dass letzteres durch $\begin{eqnarray*} 8=2^3 \end{eqnarray*}$ und durch 3 teilbar ist.

30.11.2010, 15:14

Ionel

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also ich habe nochmal das ganze durchdacht:

Ich habe 3 Zahlen gegeben und von den 3 aufeinanderfolgenden Zahlen muss eine durch 3 teilbar sein, p selbst kann es nicht sein, da es eine Primzahl ist. Daraus folgt: (p-1) und/oder (p+1) müssen es sein. (p-1) und (p+1) sind gerade Zahlen und deshalb durch 2 teilbar. Jede zweite gerade Zahl ist auch durch 4 teilbar.
Deswegen enthalten die Zahlen (p-1) und (p+1) mind. die Faktoren 2,4 und 3 und diese sind ja nötig um dem Faktor 24 zu bilden.

Ist das soweit hinnehmbar als Beweis oder fehlt mir noch etwas?

danke auf jeden fall schonmal bis hierher =)

lg

30.11.2010, 16:00

Elvis

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Dem Antrag wird stattgegeben smile

dem Beweis fehlt es an nichts.

30.11.2010, 16:05

lgrizu

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Zitat:

Original von Ionel
also ich habe nochmal das ganze durchdacht:

Ich habe 3 Zahlen gegeben und von den 3 aufeinanderfolgenden Zahlen muss eine durch 3 teilbar sein, p selbst kann es nicht sein, da es eine Primzahl ist. Daraus folgt: (p-1) und/oder (p+1) müssen es sein.

das "und" ist hier überflüssig, es muss entweder (p+1) durch 3 teilbar sein, oder (p-1), denn es gibt die beiden Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} p \mod 3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \mod 3 \equiv 2 \mod 3 \equiv -1 \mod 3 \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} p \mod 3 \equiv 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} p-1 \mod 3 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+1 \equiv 2 \mod 3 \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} p \equiv -1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} p+1 \mod 3 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p-1 \mod 3 \equiv -2 \mod 3 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ .

also beide können nicht durch 3 teilbar sein.

Zitat:

Original von Ionel
(p-1) und (p+1) sind gerade Zahlen und deshalb durch 2 teilbar. Jede zweite gerade Zahl ist auch durch 4 teilbar.
Deswegen enthalten die Zahlen (p-1) und (p+1) mind. die Faktoren 2,4 und 3 und diese sind ja nötig um dem Faktor 24 zu bilden.

Ist das soweit hinnehmbar als Beweis oder fehlt mir noch etwas?

danke auf jeden fall schonmal bis hierher =)

lg

das ist dann okay.....

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