[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.7 (*)

27.11.2010, 13:30

tigerbine

[Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.7 (*)

Gegeben ist eine endliche Gruppe G und ein fixpunktfreier Automorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von G. Zu zeigen:

zu jedem, $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} b \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = b^{-1}\varphi(b) \end{eqnarray*}$ .

Nun soll man zunächst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi(b):=b^{-1}\varphi(b) \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Nun habe ich mich gefragt, ob $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist. Würde meinen nein, denn i.A.

$\begin{eqnarray*} \psi(ab)=(ab)^{-1}\varphi(ab) = b^{-1}a^{-1}\varphi(a)\varphi(b) \neq a^{-1}\varphi(a)b^{-1}\varphi(b) =\psi(a)\psi(b) \end{eqnarray*}$

Damit kann ich mich nicht auf die Bestimmung des Kerns beschränken. Sondern muss die Eindeutigkeit des Urbilds nachweisen. Wie üblich würde ich mit einem Widerspruch arbeiten.

Seien $\begin{eqnarray*} b_1 \neq b_2 \end{eqnarray*}$ aus G mit $\begin{eqnarray*} \psi(b_1)=\psi(b_2) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} b_1^{-1}\varphi(b_1)=b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)=b_1b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)\varphi^{-1}(b_2)=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(b_2)=\varphi^{-1}(b_1)b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus.

$\begin{eqnarray*} b_2=b_1b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^2=b_1^2 \end{eqnarray*}$

Das bringt mich aber nicht wirklich weiter. Die Karte fixpunktfrei habe ich auch nicht ausgespielt. Wo muss ich die Strategie ändern?

27.11.2010, 13:40

jester.

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RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.7

Zitat:

Original von tigerbine
Seien $\begin{eqnarray*} b_1 \neq b_2 \end{eqnarray*}$ aus G mit $\begin{eqnarray*} \psi(b_1)=\psi(b_2) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} b_1^{-1}\varphi(b_1)=b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)=b_1b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)\varphi^{-1}(b_2)=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

Hier solltest du nochmal genauer hinschauen. Du hast $\begin{eqnarray*} \varphi(b_2) \end{eqnarray*}$ von der rechten Seite herübermultipliziert. Das hätte ich dann als $\begin{eqnarray*} (\varphi(b_2))^{-1} \end{eqnarray*}$ geschrieben, was $\begin{eqnarray*} \varphi(b_2^{-1}) \end{eqnarray*}$ entspricht, da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Automorphismus.

Dann hat man aber $\begin{eqnarray*} \varphi(b_1b_2^{-1})=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$ und jetzt sollte es Klick machen.

27.11.2010, 13:56

tigerbine

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RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppen 2.7
$\begin{eqnarray*} b_1^{-1}\varphi(b_1)=b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)=b_1b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)(\varphi(b_2))^{-1}=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich besser das Wissen über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzen. Auf das rein ziehen wäre ich nun nicht gekommen. Daher will ich es nachvollziehen.

$\begin{eqnarray*} e =\varphi(e)=\varphi(b_2b_2^{-1}) \stackrel{G-Hom}=\varphi(b_2)\varphi(b_2^{-1}) \stackrel{Gruppe}=\varphi(b_2)\varphi(b_2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Da die Abbildung bijektiv ist, muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_2^{-1}) = \varphi(b_2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir:
$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1)(b_2^{-1})=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(b_1b_2^{-1})=b_1b_2^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun muss wegen fixpunktfrei gelten

$\begin{eqnarray*} b_1b_2^{-1}=e \Leftrightarrow b_1=b_2 \end{eqnarray*}$

Und der gewünschte Widerspruch ist da. Passt das soweit? Dann mache ich weiter mit dem Rest.

27.11.2010, 14:00

jester.

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Ja, das ist genau der gewünschte Widerspruch.

Edit: Zu dem, was du eben geschrieben hattest: $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(b_1) \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} (\varphi(b_1))^{-1} \end{eqnarray*}$

27.11.2010, 14:36

tigerbine

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Also wir haben nun $\begin{eqnarray*} \psi(b):=b^{-1}\varphi(b) \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Was hilft mir das nun für meine eigentliche Aufgabe? Soll ich $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ auch noch auf surjektiv untersuchen? verwirrt

27.11.2010, 14:41

jester.

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Wir sollen zeigen: zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} b\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=b^{-1}\varphi(b) \end{eqnarray*}$ .

Nimm nun an du hast $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=b_1^{-1}\varphi(b_1)=b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$ und stelle den Zusammenhang zur Abbldung $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und ihrer Injektivität her.

Übrigens war $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ als endlich vorausgesetzt, sodass jede injektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch surjektiv ist. Augenzwinkern

27.11.2010, 14:56

tigerbine

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1. Danke für den Endlichkeitshinweis.

2. Also sei a asu G beliebig gegeben. Dann muss ich nachvollziehen, dass es (mind) ein b gibt $\begin{eqnarray*} a=b^{-1}\varphi(b) \end{eqnarray*}$ (Existenz) und dann noch, dass b eindeutig ist (Eindeutigkeit).

Eindeutigkeit
Seien $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \in G \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} a=b_1^{-1}\varphi(b_1)=b_2^{-1}\varphi(b_2) \end{eqnarray*}$ . Dann steht da im Grunde $\begin{eqnarray*} \psi(b_1)=a=\psi(b_2) \end{eqnarray*}$ , also mit der Injektivität folgt schon $\begin{eqnarray*} b_1=b_2 \end{eqnarray*}$ .

Existenz
Muss ich da jetzt die Surjektivität benutzen? Wegen der endlichen Ordnung ist dies gegeben und damit gibt es zu jedem a ein b aus g mit $\begin{eqnarray*} \psi(b)=a \end{eqnarray*}$ .

Ich frage deswegen, weil der Hinweis nur Injektiv ansprach. Ist der Grund nur, weil dann surjektiv trivial ( Hammer