linearer Unterraum Bosch, AUfg. 1.4.1

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DerHolzi Auf diesen Beitrag antworten »
linearer Unterraum Bosch, AUfg. 1.4.1
Hi all.

Habe folgende aufgabe:

________
Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U linearer Uunterraum von V.

Für welche a in K ist: a+U:={a+u|u in U}

wiederum ein linearer Unterraum?

_________

Habe keine wirkliche Ansatzidee wie ich das zeigen soll.

Kannst mir dazu einer was schreiben??

Gruß

DerHolzi
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal davon aus, dass ihr mit "linearer Unterraum" einen affinen Raum beschreibt, der selber auch ein Untervektorraum ist, oder?

Okay. Dann überlege dir mal, was passiert, wenn du ein a wählst, dass nicht in U liegt. Insbesondere überlege, was mit dem Nullvektor dann passiert (liegt er noch in a+U?)
 
 
DerHolzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig angenommen, dass wir mit einem linearen Unterraum einen affinen unterraum beschreiben.

Ich habe probleme mir vorzustellen, was da genau passiert, aber wenn ich ein a wähle, was nicht in U ist, dann verschiebe ich nach meinem verständnis den ganzen Unterraum und bilde einen parallelen unterraum von V oder??
Meinetwegen U'

Aber was meinst du mit dem Nullvektor??

Kannst du mir das noch ein wenig veranschaulichen??

Vielen Dank schon mal

DerHolzi
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Sicherlich. Stell dir das einfach so vor, dass jeder Vektor aus U um den Vektor a verschoben wird. Das heißt:



Du verschiebst also in der Tat alle Vektoren um den Vektor a. Das kannst du dir z.B. so vorstellen, dass du eine Gerade hast, die durch den Nullpunkt geht. Dann verschiebst du diese gerade um den Vektor a - die Gerade wird nicht mehr durch den Nullpunkt gehen, wenn a selber nicht auf der Geraden liegt.

Das malst du dir am besten mal auf.

Zeigen musst du, dass die Unterraumkriterien erfüllt werden - bzw. halt nicht erfüllt werden (zwischen den 2 Fällen unterscheiden, ob a in U liegt oder nicht). Wichtig ist hier insbesondere, dass du überprüfst, ob der Nullvektor in a+U liegt. Das sieht man ja sehr schnell, weil wenn a nicht drinne liegt, liegt auch -a nicht drinne. Und der Nullvektor würde dann zu
, aber wie erzeugst du denn Nullvektor wenn du kein additives Inverses hast...?
DerHolzi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Das ist echt gut erklärt.

Kann mir das jetzt auch vorstellen.

Thx nochmal

Greets

DerHolzi
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