Konvergenz einer Reihe

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Templa Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe
Meine Frage:
Also,
zuerst soll man die Reihen und auf Konvergenz untersuchen und deren Grenzwert berechnen.
Mit den Ergebnissen soll die Konvergenz der Reihe gezeigt werden, indem man das Einschränkungskriterium anwendet.
Ich weiß bereits, dass die Reihe die Majorante der Reihe ist (durch Recherchen im Internet, haten diesen Begriff in der Vorlesung nicht). Diesen Begriff hatten wir aber so noch nicht in der Vorlesung.

Wie schaffe ich es denn, von den ersten beiden Reihen die Grenzwerte zu berechnen und deren Konvergenz zu zeigen? Das Quotienten- und Wurzelkriterium liefern beide das Ergebnis, dass man keine Aussage treffen kann (Quotient q=1)für die erste Reihe.
Ich finde es schon komisch, dass die Reihe bei k=1 beginnen soll, denn dann gäbe es ja kein erstes Reihenglied, weil der Nenner doch Null wird...

Ich habe auch was von Induktion gehört, mit der man die Konvergenz der Reihe zeigen kann, aber ich komme damit nicht wirklich weiter...

Wäre nett, wenn mir jemand mit einem Denkanstoß (nicht der kompletten Lösung!!!) helfen könnte.

Meine Ideen:
Bei der 1. Reihe helfen Quotientenkriterium und Wurzelkriterium nicht weiter, da q=1 wird.
Bei der 2. Reihe liefert das Quotientenkriterium:


Wie man jetzt die vollständige Induktion auf den ersten Term anwenden soll (denn der 2. divergiert) ist mir ein Rätsel (haben das auch in ner Vorlesung nicht besprochen...)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe
Zitat:
Original von Templa
Ich finde es schon komisch, dass die Reihe bei k=1 beginnen soll, denn dann gäbe es ja kein erstes Reihenglied, weil der Nenner doch Null wird...

In der Tat muß diese Reihe mit k=2 anfangen.

Im übrigen ist , wie man sich leicht überlegt.

Das Stichwort lautet: Teleskopsumme
http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,
wie kann ich diese Reihen jetzt auf Konvergenz untersuchen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Wiki-Link gelesen hast, dürftest du die Frage nicht stellen.
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde, dass Wikipedia die Dinge immer ziemlich kompliziert darstellt. Ich kann den Gedankengang zwar erkennen, aber nicht anwenden.
Wenn ich das übertragen würde, würde das so aussehen:


Für die Teleskopreihe muss ich dann nur einsetzten?
Und das würde dann ergeben...wenn ich den Limes bilde komme ich auf 0,5. Aber das kann doch nicht sein?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa


Wenn, dann so:

Mit der Zerlegung hat man die Teleskopeigenschaft der Summe. Das führt dann zu



Wenn man will, kann man das auch mit vollständiger Induktion zeigen.
 
 
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt man denn von auf ?
Da hat man ja nur k=2 für den ersten Term der Zerlegung und k=n für den 2. Term der Zerlegung eingesetzt, aber muss man das nicht für beide Terme immer einsetzen ?

Wie wäre denn der Weg über die vollständige Induktion, denn das ist ein Begriff, den wir in einer Vorlesung schonmal hatten.

Der Induktionsanfang wäre ja :

Die Induktionsvoraussetzung:

Und für den Induktionsschluss muss man dann einsetzen. Aber ich muss ja immer eine Ungleichung haben, also links stehen Terme und rechts muss ich dann beweisen, dass dasselbe rauskommt, aber irgendwie komm ich da bei den Reihen nicht mit klar. Was sind denn da die Bedingungen?
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa
Die Induktionsvoraussetzung:
[...]



Muss natürlich so aussehen:

Die Induktionsvoraussetzung:
[...]

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa
wie kommt man denn von auf ?
Da hat man ja nur k=2 für den ersten Term der Zerlegung und k=n für den 2. Term der Zerlegung eingesetzt, aber muss man das nicht für beide Terme immer einsetzen ?

Erstens habe ich das nicht geschrieben und zweitens schreibe mal für die einzelnen Summanden auf. Fällt was auf?

Zitat:
Original von Templa
Die Induktionsvoraussetzung:
[...]

Was ist denn jetzt die Behauptung, die du zeigen willst?
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich habe übersehen, dass vom Formeleditor das k vor dem Bruch ja schon da stand, das muss natürlich weg.
Also



Wieso kommt da nicht hin?

Wäre nett, wenn du mir das mit der Induktion mal erläutern könntest, denn wie gesagt habe ich keine Ahnung, was die Behauptung ist, die ich zeigen möchte.... unglücklich

Bin schon ein bisschen am Verzweifeln..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa


Wieso kommt da nicht hin?

Schreibe mal für die einzelnen Summanden auf. Fällt was auf?

Zitat:
Original von Templa
Wäre nett, wenn du mir das mit der Induktion mal erläutern könntest, denn wie gesagt habe ich keine Ahnung, was die Behauptung ist, die ich zeigen möchte.... unglücklich

Genau dieses:
Katara Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ich habe auch eine frage gestellt in diesem forum aber ich bekomme keine antwort..kann mir vllt jmnd im thread beweis im körper helffen? bitte
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Katara: bitte unterlasse die Hilfeschreie in fremden Threads. Lehrer
Katara Auf diesen Beitrag antworten »

mir wird ja nicht geholfen traurig was soll ich denn tuuuuuuuuuuuuun
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@katara: jetzt ist aber Feierabend. Du mußt schon etwas Geduld haben. böse
Katara Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar bitte nicht so anschreien.
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh, jetzt ist es mir klar Hammer
Aber wie kommt man nur von alleine auf sowas...also ich meine, wenn ich das jetzt in der Klausur hätte...einfach indem ich mir dann immer die ersten paar Summanden aufschreibe und daran dann eine Regel ableite? Und vor allem, was mache ich, wenn sich keine Regel ableiten lässt......

Na gut, ich habe dann als Behauptung, die ich in der Induktion nachweisen muss:

Induktionsanfang: k=2 : Wahre Aussage

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsschluss:
Dann habe ich alle Summanden von k=2 bis K0n V(k) genannt:



Und jetzt muss ich dann den Beweis liefern, dass gilt:



Aber das geht ja nicht....irgendwo steckt da ein fehler drin....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa
Induktionsschluss:

Das ist falsch. Ohnehin wäre es besser, die Summenschreibweise beizubehalten:

Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich dachte, dass das mit dem Ausschreiben der Summanden leichter wäre, habe das mal in einem Video gesehen, wo die Induktion gut erklärt wurde....

Ganz ehrlich: Das Thema Folgen und Reihen sitzt bei mir noch gar nicht. Ich weiß auch nicht, was man jetzt mit der vollständigen induktion beweisen will...Das einzige, was ich mir jetzt vorstelle ist, dass man für die Summenschreibweise die Form 1-1/n beweist und weil 1/n die harmonische Reihe ist und diese divergiert, divergiert das ganze.....oder konvergiert das ganze gegen 1?

Ich bin echt ratlos, ich weiß auch nicht, wie ich die Induktion nun abschließe...
Ist bestimmt so blöd gedacht:



...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bruchrechnung muß man natürlich an der Uni können. Es ist:

Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das ist natürlich peinlich...

Es bleibt dann
stehen.
Und jetzt das, was ich im Beitrag vorher geschrieben ahbe? war das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, was du da sagen willst. Ist aber auch egal. Wir haben jetzt bewiesen, daß



gilt. Jetzt kannst du davon den Limes für n gegen unendlich bilden.
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meinte ich ja, dass man für den limes dann 1 herausbekommt.
Und weil das die die Reihe größer ist, als die Reihe hat man mit dem Majorantenkriterium bewiesen, dass die Reihe konvergieren muss, bzw. erstmal, dass sie nach oben nicht unbeschränkt sein kann.
Mit der 2. Reihe müsste man nun ebenfalls mit der vollständigen Induktion einen Beweis erbringen und man müsste herausfinden, dass diese Reihe ebenfalls konvergiert. Und durch das Einschließungskriterium sieht man dann, dass die Reihe konvergieren muss....

Bei der Reihe bekomme ich als Behauptung für den Induktionsbeweis folgenden Term:


Ist das soweit richtig dargestellt? So langsam verziehen sich in meinem Gehrin die Schleierwolken und Licht kommt ins Dunkel....smile
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, jetzt hab ich schon so viel gerechnet, dass ich wieder einen Flüchtigkeitsfehler reingehauen habe. Die zu Untersuchende Reihe
lautet nicht


sondern

Templa Auf diesen Beitrag antworten »



Weiterhin gilt:



Der Grenzwert der Reihe liegt also zwischen 0 und 2.
Wie könnte ich den Grenzwert nun genauer ausrechnen? Ist zwar nicht Bestandteil der Aufgabe, aber ich habe in erfahrung gebracht, dass der Grenzwert der Reihe bei liegt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Templa
Bei der Reihe bekomme ich als Behauptung für den Induktionsbeweis folgenden Term:



Hier wird nicht klar, was die eigentliche Behauptung ist. Obendrein bekommst du mit n=1 ein Problem.

Zitat:
Original von Templa
Weiterhin gilt:



Ich hätte eher gesagt:



Zitat:
Original von Templa
Der Grenzwert der Reihe liegt also zwischen 0 und 2.
Wie könnte ich den Grenzwert nun genauer ausrechnen? Ist zwar nicht Bestandteil der Aufgabe, aber ich habe in erfahrung gebracht, dass der Grenzwert der Reihe bei liegt.

Mit der obigen Ungleichung liegt der Grenzwert zwischen 1 und 2. Tatsächlich beträgt er . Eine Möglichkeit der Bestimmung ist die Fouriertransformation.
Templa Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, denke soweit ist mir jetzt alles klar.

Vielen Dank für die tolle und geduldige Hilfe smile
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