[Karpfinger/Meyberg] Untergruppen 3.9 (*)

27.11.2010, 21:43

tigerbine

[Karpfinger/Meyberg] Untergruppen 3.9 (*)

Wir betrachten Gruppen, deren Elemente nur die Ordnungen 1 oder 2 haben.

(a) G ist abelsch.

(b) Wenn G endlich ist, dann ist |G| eine Potenz von 2.

Meine Ideen:

(a) Haben wir schon bei Bosch gemacht. Einfügen eines e ist der Trick. e ist das einzige Element mit Ordnung 1.

$\begin{eqnarray*} ab=a(abab)b = (aa)ba(bb) = ba \end{eqnarray*}$

(b) Die Ordnung der Gruppe muss wegen Lagrange sicher durch 2 teilbar sein. Wie macht man nun von Ansatz her weiter. Bestimmt man den Index bzgl einer Untergruppe der Ordnung 2 oder versucht man größere Untergruppen zu finden?

27.11.2010, 22:20

kiste

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Ich hab 3 Ansätze je nach Kenntnisstand.

High-Level: Nach den Sylowsätzen existieren p-Sylows, falls welche mit p!=2 existieren kannst du Lagrange anwenden.

"Mid"-Level: Nach dem Satz von Cauchy existieren Elemente der Ordnung p, falls p Primteiler von |G| ist

Low-Level: Da wir abelsch haben, können wir eine Untergruppe der Ordnung 2 betrachten, die damit automatisch ein Normalteiler ist. Wir bilden die Faktorgruppe und machen dann Induktion.

27.11.2010, 22:23

magnumOpus

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Hallo.

(b):
G ist endlich, also existiert ein (minimales) Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \left \{ g_1,...,g_n \right \} \end{eqnarray*}$ von G. Zeige, dass jedes Gruppenelement $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ als Produkt von Elementen des Erzeugendensystems geschrieben werden kann, d.h. $\begin{eqnarray*} g= g_1^{e_1} \cdot... \cdot g_n^{e_n} \end{eqnarray*}$ , wobei jeder Faktor den Exponenten 0 oder 1 hat (nach Voraussetzung). Wenn du dann die Eindeutigkeit dieser Darstellung beweist, folgt ganz einfach $\begin{eqnarray*} |G|=2^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
magnumOpus

27.11.2010, 23:27

tigerbine

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Zitat:

Original von kiste
Ich hab 3 Ansätze

Willst du mich fertig machen? Tränen

Momentan - Stand im Buch - kommt noch nicht mal lowlevel in Frage. Normalteiler kommen erst im nächsten Kapitel. Mit Zunge

Erzeugendensystem war aber schon da. Daher werde ich es - hier - nun mit dem Vorschlag von magnumOpus versuchen.

Zitat:

G ist endlich, also existiert ein (minimales) Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \left \{ g_1,...,g_n \right \} \end{eqnarray*}$ von G. Zeige, dass jedes Gruppenelement $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ als Produkt von Elementen des Erzeugendensystems geschrieben werden kann, d.h. $\begin{eqnarray*} g= g_1^{e_1} \cdot... \cdot g_n^{e_n} \end{eqnarray*}$ , wobei jeder Faktor den Exponenten 0 oder 1 hat (nach Voraussetzung).

Das folgt wegen abelsch aus dem Darstellungssatz. Da kann ich mir Darstellung ja nach Elementen umsortieren. Die Potenzen ergeben sich aus der Elementordnung.

Zitat:

Wenn du dann die Eindeutigkeit dieser Darstellung beweist, ...

Würde ich mit einem Widerspruch ansetzen. Was ist aber das "genau" kennzeichen eines minimalen EZS?

edit: Also eines der Elemente des Erzeugendensystems darf sich nicht durch die anderen darstellen lassen, oder? Nehmen wir an, die Darstellung wäre nicht eindeutig. Dann reicht es die Unterschiede gleich zu setzen, da man die gleichen Anteile (kommutativ) raus dividieren kann. Bleibt:

$\begin{eqnarray*} g_1^{e_1} \cdot... \cdot g_m^{e_m} =g_1^{f_1} ...g_m^{f_m},~e_i\neq f_i, i=1,...,m \end{eqnarray*}$

Dann kann ich nun doch mal o.B.d.A annehmen e1=1. Dann folgt f1=0 und

$\begin{eqnarray*} g_1=g_2^{f_2-e_2}...g_m^{f_m-e_m} \end{eqnarray*}$

Da die Exponenten unterschiedlich waren und mit Ordnung 2 gilt "-1" = "1" steht da nun

$\begin{eqnarray*} g_1=g_2...g_m \end{eqnarray*}$

Das steht im Wiederspruch zum Minimalen Erzeugendensystem.

Zitat:

folgt ganz einfach $\begin{eqnarray*} |G|=2^n \end{eqnarray*}$ .

Weil die Darstellung eindeutig ist, erhalte ich für jede Kombinationsmöglichkeit der Exponenten ein anderes Element aus G. Es sind n Elemente im min. EZS und 2 mögliche Exponenten.

28.11.2010, 00:12

magnumOpus

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Der Beweis ist korrekt, Tigerbine Freude

[Das ist sicherlich auch die Lösung, die sich der Aufgabensteller gedacht hat, da jemand, der solche Übungsaufgaben macht, im Normalfall noch nicht mit Sylowgruppen u.Ä. in Berührung gekommen ist.]

Nur der Vollständigkeit halber die nachgefragte Definition:

E ist ein minimales Erzeugendensystem der Gruppe G, wenn jedes Gruppenelement in G als Produkt von Elementen von E (mit gewissen natürlichen Zahlen als Potenzen) geschrieben werden kann und diese Eigenschaft verloren geht, sobald ein Element aus E entfernt wird. Ein Erzeugendensystem E der Gruppe G ist also minimal, wenn es keine echte Teilfamilie F von E gibt, so dass F ein Erzeugendensystem von G ist.

28.11.2010, 00:41

tigerbine

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Danke. Vielleicht denke ich daran, die Levelvarianten nach Lektüre der nächsten Kapitel zu durchdenken.

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