Gruppenhomomorphismus

28.11.2010, 02:38

darkangelatnight

Gruppenhomomorphismus

Meine Frage:
Sind (G,+,0) und (H,*,1) zwei Gruppen, so heißt eine Abbildung ? :G-> H ein Gruppenhomomorphismus, falls gilt:
Alle a, b ? G : verwirrt

a + b) =

a) *

b)
Zeigen Sie:
a) ? (0) = 1
b) Alle a ? G : ? (a´) = (? (a))´,wobei a´das Inverse von a bzw.( verwirrt

a))´ das Inverse von verwirrt

a) bezeichne.

Meine Ideen:
a) Müsste ich jetzt für a=1 und für b=0 einsetzen
um zu zeigen dass gilt ? (a+b)= verwirrt

a)*

b)

Bitte helft mir
Ich komme einfach nicht weiter...

28.11.2010, 02:50

darkangelatnight

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RE: Gruppenhomomorphismus
Sorry für die unordentliche Schreibweise

Sind (G,+,0) und (H,*,1) zwei Gruppen, so heißt eine Abbildung ±: G-> H
eine Gruppenhomomorphismis, falls gilt

Alle a,b € G : ±(a+b) = ±(a)* ±(b)

Zeigen Sie:

a) ±(0)= 1

b) Alle a € G : (±(a))´ wobei a´ das Inverse von a bzw. (±(a))´ das Inverse von
± (a) bezeichnen.

28.11.2010, 03:01

darkangelatnight

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RE: Gruppenhomomorphismus
Wäre das für b) so richtig?

f(e)= f(e*e) =f(e)*f(e) =f(e)* f(e^-1)
=f(e) = e´=f(e)

a € G ->

e´=f(e) = f(a*a^-1) =f(a)* f(a^-1)
= f(a)^-1 =f(a^-1)

Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich die Aufgabe so richitg beweise

Und für a) bräuchte ich weiterhin eure Hilfe.

Danke im Voraus

28.11.2010, 04:05

pseudo-nym

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a) Das neutrale Element einer Gruppe ist das einzige idempotente Element der selbigen.
$\begin{eqnarray*} \left( e \text{ ist idempotent} \Leftrightarrow e\circ e = e \right) \end{eqnarray*}$

b) Also wenn ich annehme, dass deine Umformung zum den Zweck hatten den Term am Anfang der Gleichungsketten in den am Ende zu überführen, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f(e) & = & f(e) \\ \forall a \in G (e^{-1} & = & f(a^{-1})) \end{eqnarray*}$
Der vierte Umformungsschritt in der zweiten Gleichungskette ist falsch, denn für
$\begin{eqnarray*} f : (\mathbb R, +, 0) & \to & (\mathbb R, +, 0) \\ x \mapsto x \end{eqnarray*}$
gilt
$\begin{eqnarray*} f(1)+f(-1) = 0 \neq -1 = -f(1) \end{eqnarray*}$
da die restlichen Umformungen stimmen, ist die zweite Aussage falsch.

Ich nehme mal an, dass e das neutrale Element von G ist. Das ist stilistisch nicht geschickt, denn das neutrale Element von G hat bereits einen Namen, nämlich 0.

28.11.2010, 15:01

darkangelatnight

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Gruppenhomomorphismus
Reicht es für a) zu schreiben

e ist idempotent < \Rightarrow e \circ e = e

Aber ich müsste ja dieses mit \alpha (0)= 1 zeigen.

Und b) bin ich nun total irritiert.
war mein Ansatz nun sinnlos?
dass G= 0 ist, habe in dem Momet vergessen.

Weiß jetzt aber nicht wie ich weiter machen soll...

28.11.2010, 17:59

darkangelatnight

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RE: Gruppenhomomorphismus
Kann mir bitte jemand weiter helfen?

29.11.2010, 02:28

pseudo-nym

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a) Nein, das reicht nicht. Du könntest
$\begin{eqnarray*} f(0)\neq 1 \end{eqnarray*}$
annehmen, und jetzt unter Verwendung der Tatsachen, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist und für Null sowie für eins gilt $\begin{eqnarray*} 0+0=0,\, 1+1=1 \end{eqnarray*}$ versuchen einen Widerspruch herzuleiten.

b)Ich hab mir nochmal deine ursprünglichen Posts durchgelesen und ich kann die Aufgabenstellung nicht wirklich entschlüsseln. Schreib sie doch bitte nochmal ordentlich auf.

Roh-TeX, wie du es im letzten Post benutzt hast, kann ich lesen. Wenn du Formeln allerdings auch "richtig" angezeigt haben willst, muss du LaTeX-Klammern außenherum setzen:
$\begin{eqnarray*} \exists e \in G\, \forall a \in G (ea=a) \end{eqnarray*}$
wird also z.B. eingegeben als

code:
1:	[latex]\exists e \in G\, \forall a \in G (ea=a)[/latex]

29.11.2010, 23:00

darkangelatnight

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Aufgabenstellung von b)

$\begin{eqnarray*} \forall a \in G : \gamma (a´) = (\gamma (a))´. wobei a´ das Inverse von a bzw. (\gamma (a))´ das Inverse von \gamma (a) \end{eqnarray*}$ bezeichne

a) muss ich nicht beweisen, dass [latex] \gamma [\latex] (0)=1
gilt
aber f brauche ich doch garnicht oder?

29.11.2010, 23:03

darkangelatnight

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Wieso wird das nicht angezeigt, obwohl ich das wie beschrieben gemacht habe?

30.11.2010, 03:45

pseudo-nym

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Das soll wohl
$\begin{eqnarray*} \forall a \in G : \gamma (a') = (\gamma (a))' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a' := a^{-1} \end{eqnarray*}$
heißen. Benutze ' (unter Windows: Shift + #) statt ´.

a)Du solltest dich zuerst mal entscheiden, ob du deinen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \pm, f, \alpha \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nennen willst.

b)Hier kannst du benutzen, dass das Inverse $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ eindeutig definiert ist, als das Gruppenelement für welches gilt:
$\begin{eqnarray*} aa' = e \end{eqnarray*}$ (e ist das neutrale Element der Gruppe)

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