[Karpfinger/Meyberg] Normalteiler 4.1, 4.2 (*)

28.11.2010, 14:55

tigerbine

[Karpfinger/Meyberg] Normalteiler 4.1, 4.2 (*)

Zu bestimmen sind die Normalteiler von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ . In [Karpfinger/Meyberg] Untergruppen 3.2 (*) habe ich ja schon die Untergruppen bestimmt. Eine ist vom Index 2, also Normalteiler. Bei <(12)> bekam ich

LNK: {id,(12)}, {(13),(123)}, {(23)(132)}
RNK: {id,(12)}, {(13),(132)}, {(23)(123)}

Somit war nicht jede LNK auch eine RNK. Damit kann <(12)> auch kein Normalteiler sein. Idee richtig?

28.11.2010, 15:08

kiste

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Ja stimmt.

28.11.2010, 15:26

Manus

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Alternativ: Jede Untergruppe der Ordnung 2 ist von einem 2-Zykel erzeugt und davon gibt es 3 Stück. Diese sind in der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ jedoch alle konjugiert zueinander (Zykeltyp ist trennende Invariante der Konjugationsoperation) also gilt dies auch für die von ihnen erzeugten Untergruppen.

Auf diese Art spart man sich das Rechnen.

28.11.2010, 15:55

tigerbine

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OK. Nun soll man alle Normalisatoren der Untergruppen U bestimmen. Das ist doch die kleinste Untergruppe, in der U Normalteiler ist (?)

<(123)> ist Normalteiler, also gilt $\begin{eqnarray*} N_{S_3}(\langle (123) \rangle) = S_3 \end{eqnarray*}$

Für die anderen gilt beispielsweise
$\begin{eqnarray*} N_{s_3}(\langle (12) \rangle) = \langle (12) \rangle \end{eqnarray*}$

Es müßte ja immer gelten (weil hier Untergruppe)

$\begin{eqnarray*} U \leq N_{S_3}(U) \end{eqnarray*}$

Da kommen aber, wegen den Ordnungen nur U und S3 selbst in Frage.

28.11.2010, 18:13

kiste

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Zitat:

Original von tigerbine
Das ist doch die kleinste Untergruppe, in der U Normalteiler ist (?)

Das wäre immer U. Big Laugh