Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

28.11.2010, 19:49

schlagzeugfreak

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Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Meine Frage:
Ich soll a) y'=-0.1y
und b) y'=10-0.1y

ausrechnen.
Ich aus dem entsprechenden Lösungsbuch weiß ich dass die Lösung von
a)y=5e^-0.1y
b)y=100-95e^-0.1y
ist.
Doch da dort leider kein Lösungsweg beschrieben ist habe ich nicht die geringste Ahnung wie ich auf diese Ergebnisse komme.

Meine Ideen:
für
a)y=c*e^-0.1y
b)y=10*e^-0.1y

doch da anscheineind richtige Zahlen gesucht sind kann dies wohl nicht stimmen

28.11.2010, 20:13

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Zur Lösung der linearen DGl. 1. Ordnung
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\lambda y + q(t) \end{eqnarray*}$
benutze einfach die Lösungsformel
$\begin{eqnarray*} y(t)=e^{\lambda t}\left( y(0)+\int _0^t e^{-\lambda t'}q(t')\mathrm{d}t' \right) . \end{eqnarray*}$
Dann bist Du ein für alle Mal damit fertig.
$\begin{eqnarray*} y(0) \end{eqnarray*}$ ist der Anfangswert bei $\begin{eqnarray*} t=0. \end{eqnarray*}$
Natürlich gibt es auch andere Wege.

28.11.2010, 20:17

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Entschuldigung aber ich habe leider von deiner Antwort gar nichts, aber auch wirklich gar nichts verstanden.
Ich bin erst in der 12. Klasse also noch nicht Uni und Lambda (wenn es dieses eine Zeichen da sein soll) hatten wir bisher nur in Physik.
Kannst du mir bitte einen einfachen verständlichen Lösungsweg geben wo alle Schritte erklärt sind?

28.11.2010, 20:26

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Es hat nicht viel Sinn, Dich mit Differentialgleichungen zu quälen, wenn Du nicht integrieren kannst. Mehr verlangt die Formel ja nicht. Und wenn Du den griechischen Buchstaben nicht kennst, kannst Du ihn durch einen anderen Deiner Wahl ersetzen.

Oder scheitert es daran, dass Du
$\begin{eqnarray*} y'=-0.1y \end{eqnarray*}$
nicht in die Form
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\lambda y + q(t) \end{eqnarray*}$
bringen kannst?
Dann helfe ich Dir:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=-0.1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(t)=0 \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 20:37

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Ok dann hole ich mal etwas weiter aus:
Ich werde das Thema "Differentialgleichungen und ihre Lösungen" als eine GFS,also eine Art großes Referat halten.
Ich habe angefangen mich zu informieren zB mit Videos wie diese:
http://www.youtube.com/watch?v=vfj_pJPPaII
oder
http://www.youtube.com/watch?v=47uNqYJ5nfA&feature=channel
Ich habe alles schön zusammengefasst und meinem Lehrer gezeigt, doch er hat nur gemeint dass machen wir so nicht und hat auf meiner Zusammenfassung ein bischen verbessert wie zB dass dy/dx durch y' ersetzt wird.
Ich habe ihn auch gefragt ob wir zu dem Zeitpunkt zu dem ich diese GFS halte schon Integralrechnung im Unterricht hatten doch er sagt nein geht auch ohne.
Und jetzt versuch ich mit der Form y=c*e^k*y
Ich hoffe du kannst es mit auf diesem Weg erklären da wäre ich dir sehr sehr dankbar.
Noch ne ganz andere Frage:Warum bekomme ich keine email an meinen email account wenn ich eine Antwort auf meinen Beitrag bekomme(bin noch nicht allzu lange hier)?

28.11.2010, 21:51

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Irgendwie ist Dein mathematisches Umfeld nicht optimal. Einen Mathelehrer, der den $\begin{eqnarray*} d- \end{eqnarray*}$ Operator für die Ableitungsnotation verweigert und DGln. vor dem Integrieren behandelt, genieße ich mit Vorsicht. Die "Lösung" $\begin{eqnarray*} y=5e^{-0.1y} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Wenn Du das y im Exponenten durch die Unabhängige -z.B. t oder x - ersetzt, wird es schon besser. Aber richtig ist erst
$\begin{eqnarray*} y=5y(0)e^{-0.1t}, \end{eqnarray*}$
wovon Du Dich durch Einsetzen in die DGl. überzeugen kannst. Dabei musst Du aber ableiten, was vielleicht bei Deinen Mathelehrer nicht sein darf. y(0) ist der Anfangswert der gesuchten Funktion y, der bei der Aufgabenstellung offenbar freigestellt ist, aber in der Lösung nicht fehlen darf.

Die andere Möglichkeit, mit der Du an Dein DGl.-Problem herangehen kannst, ist die Superpositionsmethode (Stichwörter: partikuläre (erzwungene) Lösung, homogene Lösung, Eigenwert, Überlagerung).

Trennung der Veränderlichen würde auch gehen - verlangt aber Integration.

Bitte habe Verständnis, dass ich Dir das hier nicht auf umständlichem Weg alles beibringen will. Recherchiere am besten mal. Ich würde dazu nicht nur dass www heranziehen, sondern vor allem ein Mathebuch.

Im Übrigen stehe ich zu meiner anfangs angegebenen Lösungsformel.

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28.11.2010, 22:05

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Ich finde die Methoden von meinem Mathelehrer ebenfalls etwas merkwürdig aber naja.
Ich habe jetzt nochmal mein Mathebuch zur Hand(aus dem ich übrigens auch die beiden Aufgaben zu meiner Fragestellung genommen habe.Und durch das Lösungsbuch habe ich erfahren wie die Lösung nach den ihren Vorstellungen auch aussehen soll) genommen und da steht folgendes:
1. Differenzialgleichung:f'(x)=k f(x)
2. Zusammenhang zwischen f(x) und f'(x) herstellen:k f(x)=c*k*e^k*x
3. Ableitung:f'(x)=c*k*e^k*x
4. Lösung:f(x)=c*e^k*x

nur werde ich daraus auch nicht schlauer.Ich bin echt am verzweifeln unglücklich

unglücklich

29.11.2010, 01:01

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Hallo schlagzeugfreak.
ich nehme doch noch einen Anlauf.
Ich beschränke mich auf die DGl.
$\begin{eqnarray*} y'=Ly+q \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(x=0)=y_0. \end{eqnarray*}$
Darin sind $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gegebene Konstanten. $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ heißen Anfangswert (AW) bzw. Eigenwert. Gesucht ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ , welche die DGl. und den AW erfüllt.

Die Dir vorgegebenen DGln. erfüllen diese Form. Ein AW scheint nicht vorzuliegen.

Für die Lösung hat sich der Ansatz
$\begin{eqnarray*} y=ce^{Lx}+y_p \end{eqnarray*}$
bewährt.
Darin ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine zu bestimmende Konstante und $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ eine partikuläre Lösung der DGl.. Letztere muss die DGl. erfüllen, braucht aber keine Rücksicht auf den AW zu nehmen.
$\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ ist häufig vom Typ von q, d.h. hier eine Konstante. Die Konstante
$\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ in die DGl. eingesetzt liefert mit $\begin{eqnarray*} y_p'=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=Ly_p+q, \end{eqnarray*}$
woraus die partikulare Lösung zu
$\begin{eqnarray*} y_p=-\frac{q}{L} \end{eqnarray*}$
folgt.
Jetzt ist der Ansatz noch an den AW anzupassen, also für x=0 null anzuschreiben. Das ergibt
$\begin{eqnarray*} y_0=c-\frac{q}{L}. \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} c=y_0+\frac{q}{L}. \end{eqnarray*}$
Durch Einsetzen in den Lösungsansatz erhält man schließlich die fertige Lösung
$\begin{eqnarray*} y(x)=\left(y_0+\frac{q}{L}\right)e^{Lx}-\frac{q}{L}. \end{eqnarray*}$
Du solltest durch Einsetzen in die DGl. überprüfen, dass diese Lösung die DGl. und den AW erfüllt.

Zur Lösung Deiner vorgegebenen DGln. brauchst Du nur noch die Zahlenwerte einzusetzen. Wenn Du keine Anfangswerte hast, lässt Du $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ als freie Konstante in der Lösung stehen.

29.11.2010, 23:05

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Ok dieser Weg war für mich auf alle Fälle schon besser verständlich.
Nur woher bekomme ich mein q heraus?
L ist mir soweit klar das ist ja schon in der Aufgabe gegeben nur dieses q...
Könntest du mir bitte an Hand von deinen gegeben Schritten das Beispiel f'(x)=-0.1f(x) durchrechnen, denn ich bin nicht so ein "Formel-Mathematiker", ich brauche eher richtige Zahlen.
Ich würde anschließend auch eine andere Aufgabe durchrechnen und hier reinstellen damit du es absegnen oder wenn es falsch ist eben nicht kannst.
Schonmal im Vorraus vielen Dank für deine bisherige Hilfe und Geduld

29.11.2010, 23:43

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von schlagzeugfreak
Nur woher bekomme ich mein q heraus?

q heißt Störglied und gehört zur Aufgabenstellung. Bei a) und b) gilt q=0 bzw. q=10.

Zitat:

Könntest du mir bitte an Hand von deinen gegeben Schritten das Beispiel f'(x)=-0.1f(x) durchrechnen?

$\begin{eqnarray*} y'=Ly+q \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangswert $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist die allgemeine Form der Aufgabe (s.o.). Durch Vergleich mit Aufg. a) folgt $\begin{eqnarray*} L=-0.1,\text{ }q=0. \text{ }y_0 \end{eqnarray*}$ ist nicht gegeben, bleibt also als freie Konstante in der Rechnung.

Aus der allgemeinen Lösung
$\begin{eqnarray*} y(x)=\left(y_0+\frac{q}{L}\right)e^{Lx}-\frac{q}{L} \end{eqnarray*}$
folgt
$\begin{eqnarray*} y(x)=y_0e^{-0.1x}. \end{eqnarray*}$
Mehr ist nicht zu tun. Es macht keinen Sinn, den Rechenweg der allgemeinen Lösung mit Zahlenwerten immer wieder zu wiederholen. Da sie vorliegt - Du musst sie natürlich in Deiner Arbeit herleiten - darfst Du sie auch benutzen.

Der Fall b) geht jetzt genau so schnell. Das könnte Deine nächste Übung sein.

Es ist übrigens immer zu empfehlen, die Lösung - hier also $\begin{eqnarray*} y(x)=y_0e^{-0.1x}. \end{eqnarray*}$ - zur Probe in die DGl. einzusetzen.

29.11.2010, 23:49

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
ah ok soweit verstanden.
Nur was macht dann noch das -L/q am Ende meiner Formel?Des scheint mir irgendwie überflüssig?
Ich werde mich morgen dann mit der b) befassen und reinstellen.

29.11.2010, 23:58

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von schlagzeugfreak

Nur was macht dann noch das -L/q am Ende meiner Formel?Des scheint mir irgendwie überflüssig?

Falls Du das -q/L meinst: Das gehört zur allgemeinen Lösungsformel. Es taucht nur deshalb in der Lösung von Fall a) nicht auf, weil da q=0 ist. Damit ist auch -q/L=0 und erscheint nicht.
Bei Fall b) wirst Du den Term wieder zu sehen bekommen.

30.11.2010, 00:07

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Oh Schreibfehler meinerseits.
genau ich meinte -q/L
Noch ne andere Frage:
Es gibt ja gewöhnliche DGL's, DGL's erster und zweiter Ordnung.Welche von diesen Arten behandel ich gerade?Müssten ja eigentlich gewöhnliche sein oder?Kann ich dann die anderen Typen von DGL's auch mit der Formel berechnen oder ist das wieder anders?

30.11.2010, 09:36

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von schlagzeugfreak: Welche von diesen Arten behandel ich gerade?

Das ist eine gewöhnliche lineare DGl. 1. Ordnung (weil ein " ' ") mit konstanten Koeffizienten.

Zitat:

Kann ich dann die anderen Typen von DGL's auch mit der Formel berechnen oder ist das wieder anders?

Ganz anders!

30.11.2010, 11:38

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
bei a) hab ich soweit alles verstanden ausser woher ich meine Zahl 5 bekomme.
Denn die Lösung ist ja 5e^-0.1x
Ab dem e ist mir soweit alles klar nur laut der Formel müsste ich die 5 ja herausbekommen indem ich q/L rechne.In dem Fall wäre das 0/0.1
Da kommt aber 0 und nicht 5 heraus.

Also gibt es so zusagen 2 Arten von linearen DGL's?Die gewöhnliche DGL der 1. Ordnung und die gewöhnliche DGL der 2. Ordnung?Oder gibt es da auch nur gewöhnliche?
Wie kann ich denn dann die anderen Arten der DGL's rechnen.Denn da wo ich mich über das Thema informiert habe wurde immer mit Integralrechnung gearbeitet aber wie gesagt mein Lehrer meint es geht auch ohne.

30.11.2010, 11:58

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von schlagzeugfreak
bei a) hab ich soweit alles verstanden ausser woher ich meine Zahl 5 bekomme.
Denn die Lösung ist ja 5e^-0.1x

Die "5" macht nur Sinn, wenn sie als Anfangswert vorgegeben wurde. Vielleicht hast Du das übersehen. Wenn das nicht der Fall ist, kann an Stelle der 5 jede andere Zahl stehen. Probiers aus! Und deshalb habe ich einfach die Konstante $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ genommen.

Zitat:

Also gibt es so zusagen 2 Arten von linearen DGL's?Die gewöhnliche DGL der 1. Ordnung und die gewöhnliche DGL der 2. Ordnung?Oder gibt es da auch nur gewöhnliche?

Es gibt sehr, sehr viele verschiedene Arten von gewöhnlichen DGln., die nach verschiedenen Merkmalen klassiert werden können, z.B. auch nach der Ordnung (Anzahl der Striche hinter dem y, d.h. höchste vorkommende Ableitung). Dann gibt es auch noch partielle DGln.. Das führt hier aber viel zu weit. Stoff für das Mathematikstudium! Du musst das, was Du bearbeiten willst/sollst, einschränken. Präzisiere Deine Aufgabenstellung!

30.11.2010, 12:36

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Also die Aufgabenstellung in unserem Buch ist:
Ordnen Sie jeder DGL eine richtige Lösung zu.
Jetzt habe ich b) ausgerechnet:
f(x)=100-yo*e^-0.1x

Nur jetzt habe ich dass -q/L am Ende der Formel schon wieder nicht benutzt,denn wenn ich es nich mit reinsetze habe ich hinter dem -0.1x noch eine +100 (also nicht als Hochzahl)

30.11.2010, 16:47

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
ich hab jetzt gerade nochmal weitergesucht um meine frage genauer formulieren zu können und bin auf das hier gestoßen.es geht allgemein über DGL's doch mir geht es um die der 2. Ordnung (beginnen ab seite 10)
http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Profess...gleichungen.pdf
Ich habe es komischerweiße sofort verstanden und wunder mich jetzt dass die anderen Arten so kompliziert sind.
Kann man die Art die wir gerade zusammen behandeln auch so berechnen wie es da gemacht wird?

30.11.2010, 17:04

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
Hallo schlagzeugfreak!
So hast Du den Thread gestartet:
[QUOTE Original von schlagzeugfreak]Meine Frage: Ich soll a) y'=-0.1y und b) y'=10-0.1y ausrechnen.[/QUOTE]

Jetzt lautet die Aufgabe

Zitat:

Original von schlagzeugfreak
Also die Aufgabenstellung in unserem Buch ist:
Ordnen Sie jeder DGL eine richtige Lösung zu.

Ich gehe nochmal ohne Rückfrage, ob das jetzt die richtige Aufgabenstellung, darauf ein.

Um die Jetzt-Aufgabe zu lösen, hätte ich dir (von mir will ich gar nicht reden) alle Erklärungen zur Lösung von DGln. sparen können. Du sollst sie ja gar nicht lösen. Du sollst die Lösung jeweils nur in die DGln. einsetzten und dann mitteilen, welche Lösung welche DGl. erfüllt. Das ist eine reine Ableitungsübung.

Zitat:

Nur jetzt habe ich dass -q/L am Ende der Formel schon wieder nicht benutzt,denn wenn ich es nich mit reinsetze habe ich hinter dem -0.1x noch eine +100 (also nicht als Hochzahl)

Du brauchst Dir jetzt keine Gedanken mehr über y_0, L, q und vielleicht auch vieles Andere zu machen.

30.11.2010, 17:30

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
nein nein du hast schon alles richtig gemacht.
Ich soll bei der Aufgabe die DGL's schon ausrechnen, nur die Aufgabenstellung lautet so weil die Lösungen schon gegeben sind.Da ist ein großer Kasten wo alle DGL's und ihre Lösungen stehen und man muss die gegeben DGL einer gegeben Lösung zuordnen.Nur muss ich dafür ja erstmal meine DGL ausrechnen.

30.11.2010, 19:47

Lampe16

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum

Zitat:

Ich soll bei der Aufgabe die DGL's schon ausrechnen, ...

Meinst Du damit lösen, so als sei die Lösungstabelle nicht vorhanden?

30.11.2010, 20:06

schlagzeugfreak

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RE: Differentialgleichungen exponentielles Wachstum
exakt

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