linear abhängig/unabhängig

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Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
linear abhängig/unabhängig
Meine Frage:
Hallo!
ich habe die Abb R --> R gegeben....
also ich habe gegeben:

für alle x Element von R

Jetzt soll ich sagen, ob die Familie von Vektoren linear ab- oder unabhängig ist.


Meine Ideen:
Ja, also meine Idee ist erstmal zu schreiben:


Ist das ÜBERHAUPT der richtige Ansatz...?!
Ich würde dann für f(x) das oben gegebene einsetzen...
und weiter weiß ich noch nicht- wenn das überhaupt stimmt so weit...?!

Also vom Prinzip her dürfte doch jetzt nur die triviale Lösung von existieren, wenn die Familie von Vektoren linear unabhängig WÄRE (was ich noch nicht weiß...), oder?

Es wär super, wenn mir da noch jemand helfen könnte!
Ich bedanke mich schonmal!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Sind die Vektoren des IR^4 (1,0,0,1), (-1,0,1,0), (1,1,0,0) linear abhängig oder unabhängig? Wie rechnest du? Wie kannst du das auf deine Aufgabe übertragen?

Zitat:


Korrekter Ansatz.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Danke erstmal für die Antwort!

Die Vektoren des IR^4 sind linear unabhängig, da:


die folgenden Gleichungen ergibt:
s-t+u=0
u=0
t=0
s=0

Somit existiert nur die triviale Lösung.

Hm, aber wie übertrage ich das jetzt auf meine Aufgabe...?!
Ich bin in der Aufgabe in IR, oder? Oder ist das in , weil es eine Abb. von IR nach IR ist?!

Ich weiß nicht wie ich weiterkomme... muss ich mir jetzt ein Beispiel überlegen, wo es nur die triviale Lösung gäbe (sollte es die geben...) - aber das wäre ja dann nur ein Beispiel...
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Also ich hätte noch eine kleine Ansatzvermutung für meine Aufgabe...

Ich würde dann jetzt schreiben:


und das könnte ich dann noch ausmultiplizieren...


Aber was fange ich damit jetzt an...?!

Ist das denn ein guter Ansatz - oder ganz daneben?
Es wär toll, wenn mir da nochmal jemand helfen kann! smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Du bist in deiner Aufgabe im Polynomraum mit max. Potenz 3. Das ist ein 4D Vektorraum. Man kann jedem Vektor bzgl. einer Basis einen eindeutigen Koordinatenvektor zuordnen. Ich habe den Polynomraum mit der Basis 1,x,x²,x³ ausgestattet.

Deine Rechnung zeigt somit schon, dass die Polynome lu sind.

Wenn du deinen Ansatz machst, wirst du - da du nach Potenzen summieren wirst, im Grunde auf genau die gleiche Rechnung kommen. Mach mal.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Okay,
meinst du dann nicht das, was ich oben schon geschrieben hab, also:


Zitat:
Ich würde dann jetzt schreiben: und das könnte ich dann noch ausmultiplizieren...



Aber wieso weiß ich dann, dass die Lambdas 0 sein MÜSSEN?!
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Die 0 ist so rechts nicht korrekt. Damit ist das 0 Polynom gemeint. So entstehen die Gleichungen für die Lambdas.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
hm... wie meinst du das? Kann ich die Gleichungen also so nicht schreiben?

Aber muss ich die Gleichung nicht gleich 0 setzen, um rauszubekommen, ob das ganze linear unabhängig ist?
Wie muss ich das denn sonst machen...?

Und das gilt dann eben (scheinbar) nur, wenn alle Lambdas = 0 sind...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig


So meine ich das.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Ich weiß nicht, ich versuche es dir mal zu ''erklären'':
Ich sitze nämlich auch an dieser Aufgabe:

Du hast doch f1, f2, f3, gegeben:

Dass du auch so aufschreiben kannst:







Und da wir sagen sollen, ob folgende Familien von VEKTOREN lin. (un)abh. sind,
kannst du dich an diesem Wort festklemmern und diese als Vektoren aufschreiben....

also :


Und dann ausrechen wie du es schon vorhin auch gemacht hast...
Und da sowohl für a,b,c=0 gilt, ist es eine triviale Lösung => Lin. unabh.

Ich weiß jetzt nur nicht, ob ich befridigend genung auf deine Aufgabe eingegangen bin....

Du kannst einfach zuerst die Funktionen f1, f2, f3 (wie oben) umschreiben und danach sagen/schreiben: dass du diese Gl. wiederrum zum besseren berechenen so aufschreiben kannst. Ist ja quasi (wenn ich es falsch verstehe, verbessert mich!!), soweit ich es richtig verstehe, nichts anderes als eine andere Schreibweise....

Gutes Gelingen. smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Das ist nun noch mal das, was ich mit meinem ersten post und

Zitat:
Du bist in deiner Aufgabe im Polynomraum mit max. Potenz 3. Das ist ein 4D Vektorraum. Man kann jedem Vektor bzgl. einer Basis einen eindeutigen Koordinatenvektor zuordnen. Ich habe den Polynomraum mit der Basis 1,x,x²,x³ ausgestattet.


sagte. Augenzwinkern
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Sorry, ich war so vertieft in die Aufgabe... Also ist es richtig?! Cool! smile
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Achso...
also schreib ich das so

auf - und kann dann sagen, dass durch Koeffizientenvergleich ersichtlich ist, dass es nur die triviale Lösung gibt, bei der alle Lambdas 0 sind!?

Aber das was jetzt rechts steht ist doch eigentlich gleich =0 ?! ...also falsch ist die 0 doch nicht, oder? Aber man sieht eben nur jetzt, wieso die Lamdas 0 sein müssen... oder?



...okay
Hallo Hans Peter! Augenzwinkern
Ich sehe gerade deinen Post! Vielen Dank auch noch für deine Erklärung- das hat mir das ganze auch nochmal klarer gemacht! smile Das kann ich glaube ich jetzt ganz gut nachvollziehen!


Tja, mal schaun wie es mit der b weitergeht.. die dürfte ja wieder etwas anders zu lösen sein, oder?! Nur wie, nur wie.... :p
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Die 0 ist ist dem Sinne Falsch, dass du sie ws als Zahl interpretierst. Sie ist hier aber das Nullpolynom. Deswegen habe ich das anders geschrieben.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, das Prinzip ist das Gleiche, ich habe es zwar noch nicht gemacht, doch... Ist das Gleiche! Augenzwinkern

Eine Frage hast du Aufgabe 2 gemacht? ...Hast du Ideen dazu?
Ist's vllt. i-wo hier drin?

smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Immer diese Insider.... geschockt Big Laugh
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
Nagut, okay! smile
Ja, vielen Dank auch dir nochmal!
Das wär mal erledigt....

Ich hätte da noch so eine Aufgabe dazu... vielleicht könntet ihr mir da noch ein paar heiße Tipps geben..... das wäre echt klasse. Da scheiter ich nämlich gerade auch schon wieder irgendwie...
sie lautet
für alle

(Ich soll beachten, dass zwei Abbildungen f und g gleich sind, wenn für alle x \in \mathbb R gilt: f(x)=g(x) --> steht als Hinweis unter der ganzen Aufgabe- damit weiß ich gerad noch gar nicht anzufangen, was das soll...?!)

Also
dann würde ich das jetzt probieren wie eben...:
g1(x)= 2x+1
g2(x)= x-1
g3(x) = 0x + 6

also


dann ist:
I 2s+t=0 <=> t=-2s
II s-t+6u=0
<=> s-(-2s)+6u=0
<=> 3s+6u=0

ja, und dann geht's nicht weiter...

muss ich an die Aufgabe vielleicht ganz anders rangehen- oder wie kann ich das machen???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: linear abhängig/unabhängig
WAS ist die Aufgabe? Ich sehe nur 3 Polynomfunktionen.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, die 2 hab ich leider auch überhaupt nicht... also auch gar keinen Ansatz- die 2. bleibt irgendwie immer übrig oder ist die letzte, die ich mache... böse
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, was ist denn die Frage?
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist immer noch die selbe wie die andere!
Also
ich habe die Abb R --> R gegeben....
und ich soll sagen, ob die Familie von Vektoren linear ab- oder unabhängig ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde langweilig. Es sind 3 Polynome mit Maximalgrad 1. Das ergibt einen 2D Vektorraum. 3 Vektoren in einem 2dim Vr sind immer ..... Augenzwinkern



hat also eine nichttriviale Lösung.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

okay, supi!
Und das sehe ich dann daran (oder kann ich damit begründen), dass z.B. ist?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Begründen kann man es - wie ich es tat - auch ohne konkrete Rechnung. Für deine Werte: Mach die Probe. Big Laugh
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Welch ein feistes Lachen! Hammer

Also, ich darf doch beliebig festlegen meinetwegen s=2 oder?!
Dann wäre
s=2
t=-4
u=-1

Probe:
I 2*2-4=0 <=> -4=-4 w.A.
II 2+4-6=0 <=> 0=0 w.A.

also ist die Familie von Vektoren linear unabhängig!

(Hast du eine Idee, was dieser Hinweis bedeuten könnte: zwei Abbildungen f und g sind gleich, wenn für alle gilt: f(x)=g(x), der unter der ganzen Aufgabe steht.... )
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

linear ABHÄNGIG natürlich!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dass man nicht in die Versuchung kommen soll, x bestimmt zu wählen.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich noch die 3. Aufgabe dazu draufsetzen:
also wieder gleiche Aufgabenstellung.
diesmal
h1(x)=sinx
h2(x)=cosx



also würde ich sagen:
a*sinx + b*cosx = 0

jetzt hätte ich ja gesagt:
wenn x z.B. = 90° wäre, dann wäre sin90=1 und cos90=0
--> also a*1+b*0=0
--> und das hätte mir gesagt, dass b unendlich viele Zahlen annehmen könnte- dass also lineare Abhängigkeit herrscht...
ich habe aber gerade an anderer Stelle gelesen, dass sinx und cosx (zumindest im Intervall [0;pi/2] linear unabhängig sind...
wie kommts??

Also, wenn wir das noch klären können, bin ich glücklich und zufrieden! Freude


(an Hans Peter: Wenn ich zur 2 noch was rauskrieg meld ich mich hier nochmal... Augenzwinkern )
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, na dann könnte ich mir vorstellen, dass das für diese gerade geschilderte letzte Aufgabe auch eine Rolle spielen könnte, nicht wahr?!
Also das, was ich eben gemacht hab, soll ich schonmal nicht machen, richtig?! x=90 wählen....
dann muss ich nochmal drüber nachdenken...

(aber wie kann man das aus dem Satz verstehen??? Da wär ich nicht drauf gekommen... muss ich auch nochmal drüber nachdenken...)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, so ist das erst mal falsch. Der Trick ist dennoch, x konkret zu wählen.

(*)

D.h. im speziellen muss (*) für und gelten.





Verstehst du, was ich meine?
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube schon irgendwie...
also könnte ich das so machen? :

I a*sin0 + b*cos0 = 0 <=> b=0
II a*sin(pi/2) + b*cos(pi/2) = 0 <=> a=0

also a=b=0
--> linear unabhängig!
?

Aber das kommt mir dann trotzdem irgendwie komisch vor- ich habe da ja jetzt nur zwei x rausgepickt... und für lineare Unabhängigkeit heißt es doch eigentlich, dass NUR die triviale Lösung existieren darf... existiert die denn auch NUR? (also scheinbar stimmt das ja- aber das sehe ich irgendwie noch nicht so richtig...)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Wir arbeiten mit dem Argument: wenn es für alle gelten soll, dann muss es auch für spezielle gelten. Und aus 2 gut gewählten folgt schon, dasss a=b=0 sein muss.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, dann glaub ich das mal erstmal! Freude
Also dickes, herzliches Dankschön an dich!!! Du hast mir sehr geholfen! smile

Tanzen
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