Umgangston! Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d

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Philia Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Meine Frage:
Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3. Grades:

f(x)= x³+bx²+cx+d

a)genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt.
b)ganeu einen Sattelpunkt besitzt.
c)weder einen Hoch- und einen Tiefpunkt, noch einen Sattelpunkt besitzt.

Über dieser Frage sitze ich schon drei Tage ohne irgendein Ergebnis zu haben.
Es wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.

Vielen Dank!

LG Philia

Meine Ideen:
Ich dachte mir, dass man vielleicht mit der notwendigen Bedingung
( f´(x)=0) b oder c ausrechnen kann, damit man sieht, in welcher Weise b von c abhängig ist. Ich komme aber auf kein konstantes Ergenbis, immer kommt etwas anderes heraus.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Aufgabe c ist schier unmöglich wenn du dir den Graphen einer Funktion 3. Grades
vorstelltst. Denn selbst wenn alle Koeffizienten wegfallen und nur x^3 übrig bleibt
besitzt man man einen Sattelpunkt.

Also gibt es bei deiner Funktionsgleichung entweder zwei Extremas(Aufgabe a) oder
einen Sattelpunkt.
Damit deine kubische Funktion zwei Extremas aufweist brauchst du nur dafür zu
sorgen das Doppellössungen(Dreifachlöungen) bei den Nullstellen auftreten oder alle
Nullstellen reel sind.Ist dies der Fall dann trifft Aufgabe a zu.
Andererseits ist Aufgabe b erfüllt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Zitat:
Original von baphomet
Aufgabe c ist schier unmöglich wenn du dir den Graphen einer Funktion 3. Grades
vorstelltst. Denn selbst wenn alle Koeffizienten wegfallen und nur x^3 übrig bleibt
besitzt man man einen Sattelpunkt.


Wenn alle Koeffizienten "wegfallen", dann ja, es gibt aber durchaus Funktionen 3. Grades die weder Extrempunkte noch Sattelpunkte besitzen.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Zeig mir eine einzige das reicht, denn diese sind mir nicht bekannt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nur weil dir auf Anhieb keine einfällt, heißt das noch lange nicht, dass es keine gibt. unglücklich

Ich kann dir beliebig viele Funktionen dritten Grades konstruieren, die weder Extrem- noch Sattelpunkte haben, da dir eine einzige reicht, mach doch bitte mal eine Kurvendiskussion für .
Philia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Zitat:
Original von baphomet

Damit deine kubische Funktion zwei Extremas aufweist brauchst du nur dafür zu
sorgen das Doppellössungen(Dreifachlöungen) bei den Nullstellen auftreten oder alle
Nullstellen reel sind.Ist dies der Fall dann trifft Aufgabe a zu.
Andererseits ist Aufgabe b erfüllt.


und wie muss ich das jetzt konkret rechnen?
einfach die Nullstellen ausrechnen und dann ist das was rauskommt das ergebnis?
 
 
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da ich wohl etwas vorschnell geurteilt, scheint es tatsächlich zu geben.

Toll Iorek kann besser Mathe als ich, ist hier im Matheboard in seinem Kietz der
absolute Bringer.


Ich übergebe das Thema an Iorek, bin dafür nicht qualifiziert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

baphomet, ich habe dich anfangs nur auf einen Fehler aufmerksam gemacht ohne eine persönliche Wertung einzubringen. Auf deine unverschämte Antwort hin, dass ich dir doch eine zeigen soll, da diese eh nicht existiert, habe ich dann entsprechend geantwortet.

Ich habe mich nirgendwo als "absoluter Bringer" aufgespielt und dich als "nicht genug qualifiziert" bezeichnet, der einzige Sinn meines Beitrags war, deinen Fehler zu berichtigen. Wenn du damit nicht umgehen kannst, ist das dein Problem, weitere Meinungsverschiedenheiten deinerseits mit mir, bitte per PN. Dieser Thread ist dafür gedacht, dass Philia geholfen wird (was du auch gerne weiterführen kannst).
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich bereits und du bist jetzt hier dran, werde auf deinen nächsten Fehler
auch schon lauern und dich dann in der Luft zerreisen. smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder du willst es nicht verstehen oder du kannst es nicht verstehen...ich habe dich nirgendwo in der Luft zerrisen, ich habe dich lediglich auf einen Fehler aufmerksam gemacht. Aber egal, wenn du das so sehen willst, dann bin ich gerne dein Buhmann.

@Philia, was für Bedingungen müssen denn erfüllt sein, damit eine Funktion einen Extrempunkt hat?

Stell diese Bedinungen in Abhängigkeit von den Koeffizienten a,b,c,d auf.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

ähm naja war das nicht so, dass die erste ableitung der funktion null ergeben muss?
und die zweite ableitung für einen hochpunkt kleiner als null und für einen tiefpunkt größer als null sein muss ? oder nicht?
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

in abhängigkeit der koeffizienten? O.O

ich glaub damit bin ich jetzt überfordert
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bestimme doch jetzt mal die erste Ableitung und berechne in Abhängigkeit von b und c die Nullstellen (Du wirst eine Fallunterscheidung machen müssen).

Wie würdest du die Ableitung der Funktion bestimmen? Das funktioniert hier genau so, deine Koeffizienten sind konstante Zahlen.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn eine fallunterscheidung?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kümmern wir uns erstmal um die Ableitung und die notwendige Bedingung, wie sieht diese aus?
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch die 3 unterschiedliche Fälle behandeln für die 2. Ableitung
(größer null, kleiner null oder null). Das meint Iorek mit Fallunterscheidung.




Extrema
keine Extrema


Minimum
Maximum
und Sattelpunkt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das meine ich nicht. Es ist eine Fallunterscheidung für die Koeffizienten b und c nötig.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x)= 3x² + 2bx + c

notwendige bedingung für ein extremum: f´(x) = 0
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Gleichung lässt sich z.B. mit der Mitternachtsformel lösen.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, die ist mir nicht geläufig oder sie hat bei uns einen anderen namen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht heißt die bei euch abc-Formel.

Oder du formst dir die Gleichung soweit um, dass du die pq-Formel anwenden kannst.

Eine dritte Möglichkeit wäre die quadratische Ergänzung.

Edit: Was auch immer baphomet jetzt mit seiner (i.A. falschen) Auflistung sagen will...
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek

Was ist falsch?




Damit die Funktion keine Hoch-und Tuefpunkte aufweist darf die Gleichung
der ersten Ableitung keine Lösungen haben.

Die Mitternachtsformel lautet:



Da es für deine Funktion 2n Extrempunkt egeben soll, muss der
Term unter der Wurzel größer Null werden.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast aber noch mehr Aussagen gemacht als nur über die erste Ableitung, eine Aussage ob es einen Sattelpunkt kannst du mit dem was du aufgeschrieben hast noch gar nicht treffen.

Und bei deiner Mitternachtsformel hast du etwas vertauscht.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja beim Zähler vertauscht, schon korrigiert.

Bei der Definition eines Sattelpunktes entsprechendes hinzugefügt.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

hm ich bezweifle zwar, dass das ergebnnis richtig ist, aber gut .

wenn man die gleichung umstellt kommt bei mir raus:

f´(x)= x² + 2/3 bx + c/3


x1= -2b/3 + Wurzel [ (2b/3) - c/3]
x2= -2b/3 - Wurzel [ (2b/3) - c/3]

aber ich kann damit nicht wirklich was anfangen
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Wir befinden uns immer noch bei Aufgabe a,dort wird gefordert das
die Funktion genau ein Extrema hat, also entweder Minimum oder Maximum.
Das heißt im Klartext das die 1. ABleitung nur eine Lösung haben darf und das
geschieht genau indem Moment bei dem der Term unter der Wurzel 0 wird.

Das heißt;

Philia Auf diesen Beitrag antworten »

nein, genau einen Hoch- und Tiefpunkt !
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »



Bruch auflösen


Weitere Umformung entsteht:




Unter dieser Unleichung gilt das es 2 Extrempunkte gibt.
Philia Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid damit kann ich nichts anfangen, wenn du mir nicht hilfst, dann kannst du das jemand anderem erzählen.
ich will jetzt nicht undankbar sein aber mit sowas kann ich nunmal nichts anfangen
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »


Deine 1.Ableitung lautet wie folgt:



Dabei ist dein Koeffizient a=3



Aufgabenteil b ist deutlich einfacher zu lösen:



Nun wissen wir das bei einem Sattelpunkt die erste und zweite Ableitung gleich
0 sein muss, die dritte ABleitung aber ungleich null.
Das führt uns wieder zur Mitternachstformel, wobei wir nur den Term unter
der Wurzel betrachten müssen. Ein Sattelpunkt heißt nur eine Lösung und somit
muß dieser Term 0 werden,

Philia Auf diesen Beitrag antworten »

ist das ne festlegung?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Einwurf, aber es ist wichtig:

Zitat:
Original von baphomet
Toll Iorek kann besser Mathe als ich, ist hier im Matheboard in seinem Kietz der
absolute Bringer.


@baphomet
Für diese Aussage erteile ich dir hiermit offiziell eine Rüge.
Fehler passieren allen, du brauchst nicht in Unverschämtheiten zu flüchten, wenn sie dir nachgewiesen wurden.
Achte daher in Zukunft auf deine Wortwahl, auch und gerade wenn du dich ärgerst.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philia
ist das ne festlegung?


Ja das ist ne Feststellung.

Hier nochmal alles zu deinem Aufgabenteil b) Genau ein Sattelpunkt:



hat genau eine Lösung(nämlich nur den Sattelpunkt)
Wir müssen hierbei in der Mitternachtsformel nur Bedenken das der Koeffizient
vor dem linearen Glied(2b) insgesamt als Koeffizient b in der Formel benutzt wird.




Damit wir eine Doppellösung bekommen muss der Term unter der Wurzel 0 sein.



Durch Einsetzten kommt man auf folgende Funktionslgeichung der Ableitung:




Für b setzen wir in der Ableitung nun diesen Ausdruck ein.
So erhalten wir für die 2. ABleitung



Setzen wir unseren Sattelpunkt hierin ein, kommt 0 heraus was ja so sein muss.
Bilden wir die dritte Ableitung stellen wir fest, sie ist ungleich null, damit haben
wir eine Kubische Gleichung mit genau einem Sattelpunkt
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Um auf Aufgabe a zurückzukommen:

Dies gelingt nur mittels der schon angegebenen Abschätzung.





Die erste Ableitung muss zwei Lösungen haben, deshalb brauchen wir uns
wieder nur den Term unter der Wurzel bei der Mitternachtsformel
anzuanschauen.

Die Abschätzung ergibt:









Die dritte Aufgabe baut auf a und b auf. Das heißt im Klartext, es darf keine
Extremas geben, das heißt das dies hier nicht erfüllt sein darf und auch kein
Sattelpunkt existiert, also darf dieses folgich auch nicht gelten.
Das heißt die erste Ableitung darf nicht null werden, das heißt der Term unter
der Wurzel muß negativ sein, wie man das ermittelt solltest du ja jetzt hinbekommen.
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