Menge U ist ein Erzeugendensystem

29.11.2010, 16:19

Theta

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Menge U ist ein Erzeugendensystem

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} U = \left\{ p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\}\in P_{2} \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} p_{0} (t) = t^{2} + t - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{1} (t) = t^{2} - t + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{2} (t) = t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{3} (t) = t + 4 \end{eqnarray*}$
ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ ist. Geben Sie ein $\begin{eqnarray*} W\in U \end{eqnarray*}$ an, welches eine Basis
von $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Nun im Endeffekt heißt das, dass W eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ ist, also: $\begin{eqnarray*} L(W)=P_{2} \end{eqnarray*}$ .
1. Warum wird es $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ genannt, ob es villeicht mit $\begin{eqnarray*} p_{2} (t) = t \end{eqnarray*}$ zu tun hat?
2. Ist $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum (Wie vielte Dim.)?
Ich hab leider keine weiteren Ideen, weil ich mir nicht wirklich vorstellen kann wie $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ aussieht.

29.11.2010, 16:52

Theta

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RE: Menge U ist ein Erzeugendensystem
Entschuldigung
ich meinte $\begin{eqnarray*} U = \left\{ p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\}\subset P_{2} \end{eqnarray*}$
und nicht $\begin{eqnarray*} U = \left\{ p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\}\in P_{2} \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 16:52

René Gruber

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Zitat:

Original von Theta
Geben Sie ein $\begin{eqnarray*} W\in U \end{eqnarray*}$ an, welches eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Hast du dich da nicht verschrieben? Es soll bestimmt $\begin{eqnarray*} W\subseteq U \end{eqnarray*}$ heißen, sonst macht es keinen Sinn.

29.11.2010, 16:53

Theta

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stimmt, hast recht danke

29.11.2010, 17:03

LoBi

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1. $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Polynome vom $\begin{eqnarray*} grad <=2. \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} dim P_2 = 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \{1,t,t^2\} \end{eqnarray*}$ ist z.B eine Basis

29.11.2010, 17:07

Theta

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$\begin{eqnarray*} p_{0} (t) = t^{2} + t - 1 \end{eqnarray*}$ wäre dann doch eine Basis oder nicht
oder aber $\begin{eqnarray*} p_{1} (t) = t^{2} - t + 1 \end{eqnarray*}$

Ich glaube sogar beides, sodass: $\begin{eqnarray*} W = \left\{ p_{0}, p_{1}\right\} \end{eqnarray*}$ wegen den Inversen könnte man dan alle funktionen bilden

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29.11.2010, 17:12

LoBi

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$\begin{eqnarray*} p_0(t) \end{eqnarray*}$ ist nur ein einzelnder Vektor. Die Basis besteht aber aus 3 Vektoren. Du musst mit der Basis ja alle Polynome vom <=2 erzeugen können. Mit $\begin{eqnarray*} \lambda p_0(t) \end{eqnarray*}$ , kannst du nur die Vektoren $\begin{eqnarray*} \lambda t^2 +\lambda t - \lambda \in P_2 \end{eqnarray*}$ erzeugen.

29.11.2010, 17:29

LoBi

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Zitat:

Original von Theta
$\begin{eqnarray*} p_{0} (t) = t^{2} + t - 1 \end{eqnarray*}$ wäre dann doch eine Basis oder nicht
oder aber $\begin{eqnarray*} p_{1} (t) = t^{2} - t + 1 \end{eqnarray*}$

Ich glaube sogar beides, sodass: $\begin{eqnarray*} W = \left\{ p_{0}, p_{1}\right\} \end{eqnarray*}$ wegen den Inversen könnte man dan alle funktionen bilden

Nein es müssen zwingend 3 linear unabhängige Vektoren sein damit es eine Basis ist.
z.B. $\begin{eqnarray*} t^2+6 \end{eqnarray*}$ kann man mit deiner "Basis" nicht als Linearkombination darstellen.

29.11.2010, 17:38

Theta

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Kann es sein, dass ich einen gewissen Spielraum habe und entscheiden kann aus welchen 3 ich mein W bastele oder kann ich eins von denen wirklich ausschließen

29.11.2010, 17:50

LoBi

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Beispiel: Ich habe die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,2x^2\} \end{eqnarray*}$ , dann wären $\begin{eqnarray*} \{1,x,2x^2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ Basen $\begin{eqnarray*} \{x,x^2,2x^2\} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.

Sicher auschliessen kannst du beispielsweise einen Vektor wenn er durch die anderen darstellbar ist.

29.11.2010, 18:01

Theta

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ich kann irgendwie 3t²-t-9 nicht darstellen
Ich glaube ich muss entweder p0 oder p1 wegstreichen

29.11.2010, 18:14

LoBi

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Ich glaub auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das musst du natürlich überprüfen folgt aus
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_1(t)+\lambda_2p_2(t)+\lambda_3p_3(t) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_0(t)+\lambda_2p_2(t)+\lambda_3p_3(t) \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2010, 18:18

Theta

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hab ich schon Danke sehr für deine Hilfe
Ihr seid klasse Gott

Gott

30.11.2010, 15:53

ojemine

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hi mache auch gerade diese aufgabe. ich weiss auch schon, welche Polynom ich weglassen muss, aber wie kann ich das dann aufschreiben also

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}\left(t^{2}- t+ 1 \right) + \lambda_{2}\left(t\right) + \lambda_{3}\left(t+ 4\right) \end{eqnarray*}$

dann ausklammern...

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}t^{2} - \lambda_{1} + \lambda_{1} ... \end{eqnarray*}$ ??????

also muss ja irgendwie auf ein gleichungssystem kommen, damit alle skalare =0 werden....

Aber wie?

Danke im vorraus

30.11.2010, 16:03

ojemine

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so hab jetzt nochmal geschaut

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} t^{2} = 0\\ - \lambda_{1}t+ \lambda_{2}t+ \lambda_{3} t= 0\\\lambda_{1} + \lambda_{3} 4= 0 \end{eqnarray*}$

Und t soll ja nicht null sein und damit es null wird muss man lambda1 =0 setzen und dann hin und her und dann sind alle 0 oder??

30.11.2010, 16:34

ojemine

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hab ich indem ich die lin. unabh. gezeigt hab auch gezeigt, dass es ein erzeugendensys. ist?

30.11.2010, 17:18

LoBi

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Nein z.B. $\begin{eqnarray*} \{1,x\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig, aber kein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 17:03

Theta

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Die Frage in dieser Aufgabe ist ja auch ob U ein Erzeugendensystem ist. Kann ich dann auch einfach sagen, dass W eine Basis ist und W Teilmenge von U ist, und daher U dann auch ein Erzeugendensystem ist. Oder muss ich das dann noch irgendwie speziell beweisen?

01.12.2010, 17:06

Math1986

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Zitat:

Original von Theta
Die Frage in dieser Aufgabe ist ja auch ob U ein Erzeugendensystem ist. Kann ich dann auch einfach sagen, dass W eine Basis ist und W Teilmenge von U ist, und daher U dann auch ein Erzeugendensystem ist. Oder muss ich das dann noch irgendwie speziell beweisen?

Ja, das ist richtig... im Prinzip ist das auch der bwweis

01.12.2010, 17:08

Theta

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smile

Ihr seid Spitze Gott

Gott

01.12.2010, 18:45

Theta

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Das musst du natürlich überprüfen folgt aus
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_1(t)+\lambda_2p_2(t)+\lambda_3p_3(t) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_0(t)+\lambda_2p_2(t)+\lambda_3p_3(t) \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ?
Ich hab das so gemacht:
Aus $\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_1(t)+\lambda_2p_2(t)+\lambda_3p_3(t) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ , da
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1p_1(t)= t^{2} - t + 1\Rightarrow \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall t\in K \end{eqnarray*}$ (den Körper nenn ich mal K, in der Aufgabe wars nicht erwähnt, komisch)
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_2p_2(t)= t \Rightarrow \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall t\in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_3p_3(t)= t + 4 \Rightarrow \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall t\in K \end{eqnarray*}$
Das andere W analog. Ist das so richtig?

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