Beweis metrischer Raum und Vollständigkeit

29.11.2010, 17:36

alex2007

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Beweis metrischer Raum und Vollständigkeit

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} X:= (0;\infty ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p: X x X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} p(x,y) := |x-y| + | \frac {1}{x} - \frac {1}{y}| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x,y \in X) \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie:

a) (X,p) ist ein metrischer Raum

b) (X,p) ist vollständig.

Meine Ideen:
a)

zu zeigen:
1. $\begin{eqnarray*} p(x,x)=0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} p(x,y)=0 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} p(x,y)=p(y,x) \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} p(x,y)\leq p(x,z) +p(z,y) \end{eqnarray*}$

Beweis:
1.
$\begin{eqnarray*} p(x,x) = |x-x| + | \frac {1}{x} - \frac {1}{x}|= 0 +0 = 0 \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} p(x,y) = |x-y| + | \frac {1}{x} - \frac {1}{y}| = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x-y|= -| \frac {1}{x} - \frac {1}{y}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x-y = 0 =\frac {1}{x} - \frac {1}{y} \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} p(x,y) = |x-y| + | \frac {1}{x} - \frac {1}{y}| = |y-x| + | \frac {1}{y} - \frac {1}{x}|=p(y,x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-y) + (\frac {1}{x} - \frac {1}{y}) = -(y-x) + (-(\frac {1}{y} - \frac {1}{x})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x-y + \frac {1}{x} - \frac {1}{y}= -y +x -\frac {1}{y} + \frac {1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0=0 \Rightarrow p(x,y)=p(y,x) \end{eqnarray*}$

4. einsetzen und gut.

b) hier bräuchte ich ne Hilfe. Wie gehe ich am besten vor? aus welchen Aussagen schlussfolgere ich?

29.11.2010, 18:53

Evelyn89

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zu b): Ihr hattet sicher, dass jede Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,||.||) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Wegen $\begin{eqnarray*} X:=]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ kannst du im Beweis analog vorgehen , aber beachte dabei , dass du die gegebene Metrik benutzt.

Das wäre jetzt eine Überlegung. Vielleicht gibt es bessere Wege. Ich lasse mich dann belehren, aber es wäre auf jeden Fall eine Möglichkeit wie man es versuchen könnte.

02.12.2010, 16:09

physifreak

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das ist ja gut
aber dieser Beweis hat bei uns keinen Zusammenhang zu speziellen Metriken.

könntest du mir da noch ein paar Hinweise geben

04.12.2010, 18:37

alfi

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also ich komm hier auch nicht wirklich weiter. hat sonst noch irgendjemand eine idee?

04.12.2010, 19:29

Current

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Nimmt man sich eine Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ , dann weiß man ja schon einmal $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a_m\vert+\vert \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\vert<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist damit jeder Summand kleiner als Epsilon und weiterhin hat man die euklidische Metrik vorliegen. Jetzt muss man sich die Summanden anschauen und daran denken, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vollständig ist.
Im Übrigen ist ja der Raum X eine Teilmenge der reellen Zahlen, daher ist anzunehmen, dass die Metriken hier auf X induziert sind.

05.12.2010, 17:14

alfi

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Würde es vielleicht schon reichen zu zeigen, dass keine Cauchy-Folge mit dieser Metrik einen Grenzwert außerhalb von X haben kann?

Ansonsten, zielst du darauf ab, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat und dies fügt man quasi mit der o.g. Formel zusammen?

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05.12.2010, 19:37

alex2007

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Zitat:

Original von Current
Nimmt man sich eine Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ , dann weiß man ja schon einmal $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a_m\vert+\vert \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\vert<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist damit jeder Summand kleiner als Epsilon und weiterhin hat man die euklidische Metrik vorliegen. Jetzt muss man sich die Summanden anschauen und daran denken, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vollständig ist.
Im Übrigen ist ja der Raum X eine Teilmenge der reellen Zahlen, daher ist anzunehmen, dass die Metriken hier auf X induziert sind.

Ok, also ich würde einfach mit der Definition der Vollständigkeit anfangen.

Ein vollständiger Raum ist ein metrischer Raum in dem jede Cauchyfolge (bestehend aus Punkten dieses Raumes) konvergiert.

Jetzt habe ich meinen Raum (X,p). Dieser ist nach dem Beweis in a) ein metrischer Raum.

Somit muss ich jetzt noch Zeigen, dass jede Cauchyfolge (mit Punkten aus diesem Raum) gegen eine Zahl aus diesem Raum konvergiert.

jetzt nehme ich mir also eine beliebige Folge $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N: a_{n} \in X \end{eqnarray*}$ und setze vorraus, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist.

Demzufolge muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb N:\vert a_n-a_m\vert+\vert \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\vert<\epsilon \forall m, n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$

Wie schon von User "current" gesagt würde ich mir jetzt also überlegen, was mit den Summanden ist. Aus der Defintion für die Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ folgt, dass jeder Summand in der Ungleichung < epsilon sein muss.
Also:

$\begin{eqnarray*} \vert a_n-a_m\vert<\epsilon \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vert \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\vert<\epsilon \end{eqnarray*}$

Da ich ja vorher festgelegt habe, das die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_{m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ in unserem metrischen Raum (X,p) enthalten sind. Brauche ich also nur zeigen, dass meine beiden zuletzt genannten Ungleichung (aus den Summanden) unter dem konvergenzkriterium geltenn.

Also:

1.) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_{0}: \vert a_n-a_m\vert<\epsilon \forall m, n >n_{0} \end{eqnarray*}$

und

2.) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_{0}:\vert \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\vert<\epsilon \forall m, n >n_{0} \end{eqnarray*}$

Beweis:

zu 1.) klar (heißt also, man kann hier immer einen index finden, der größer als m und n ist und für den die ungleichung erfüllt ist)

zu 2.)

$\begin{eqnarray*} \vert \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{m}}\vert= \vert \frac{am - an}{a_n \cdot a_{m}}\vert \leq \frac{1}{a_{m}} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste man ne Fallunterscheidung machen zwischen monoton wachsend (*) und fallend (**) machen:

(*) $\begin{eqnarray*} a_{m} \geq a_{n0}\Rightarrow \frac{1}{a_{m}} \leq \frac{1}{a_{n0}} <\epsilon \end{eqnarray*}$

(**) $\begin{eqnarray*} a_{m} \leq a_{n0}\Rightarrow \frac{1}{a_{m}} \geq \frac{1}{a_{n0}} <\epsilon \end{eqnarray*}$

auch hier kann jeweils ein index gefunden werden, der größer als m und n ist, sodass die ungleichung erfüllt ist.

Somit folgt aus 1. und 2. :

$\begin{eqnarray*} 1. \Rightarrow a_{n} \to a_{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \Rightarrow \frac {1}{a_{n}} \to \frac {1} {a_{m}} \end{eqnarray*}$

Somit haben wir gezeigt, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ offensichtlich gegen das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{m} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Beachten wir nun unsere Vorraussetzungen, das die Folge eine Cauchy-Folge ist und das die Folgengleider $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{m} \end{eqnarray*}$ jedweils Element unseres metrischen Raumes sind, folgt:

jede CF $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ Element (X,p) konvergiert gegen ein Element aus (X,p)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (X,p) ist vollständig

q.e.d.

Kann man das so machen?

PS: mir fällt gerade auf, das man 2.) garnicht zeigen muss, sondern nur 1.) denn daraus folgt ja, dass a_n gegen a_m konvergiert und damit habe ich unter meinen vorraussetzungen gezeigt, dass jede CF gegen ein element aus (X,p) konvergiert, womit (X,p) vollständig ist. Oder?

05.12.2010, 20:15

alex2007

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also nochmal zusammengefasst wäre das jetzt mein beweis:

Zu zeigen: jede Cauchyfolge in (X,p) konvergiert gegen ein Element aus (X,p).

Beweis:
Sei Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n}\right\} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine CF in (X,P). Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb N: |a_{n} - a_{m}| + | \frac{1}{a_{n} } - \frac{1}{a_{m} } | < \epsilon \forall m,n >n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall \epsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb N: |a_{n} - a_{m}| <\epsilon \forall m,n >n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} \to a_{m} \end{eqnarray*}$ (*)

Laut Vorrausstzung, dass es sich um eine Cauchyfolge in (X,p) handelt, folgt:

$\begin{eqnarray*} a_{n}, a_{m} \in (X,p) \end{eqnarray*}$ (**)

(*), (**) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ jede Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ in (X,p) konvergiert gegen einen Wert aus (X,p)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (X,p) ist vollständig

q.e.d.

05.12.2010, 20:32

alex2007

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ich bitte um Meinungen!

05.12.2010, 20:39

physi+freak

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jo aber ich halte es für komisch die euklidische Metrik zu verwenden da wir ja eine Metrik vorgegeben hatten

05.12.2010, 20:45

alex2007

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Zitat:

Original von physi+freak
jo aber ich halte es für komisch die euklidische Metrik zu verwenden da wir ja eine Metrik vorgegeben hatten

habe ich doch garnicht gemacht. ich habe einfach nur die Bedingung das a_n eine Cauchyfolge ist auf die Metrik die wir vorgegeben haben angewandt. Somit erhalte ich die die Ungleichung, die für eine CF in unsrem metrischen Raum gilt. Oder etwa nicht?

05.12.2010, 20:49

physi

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Sorry hatte deinen letzten Beitrag noch nicht gelesen

was uns noch nicht ganz einleuchtet ist die Verwendung der euklidischen Metrik in (*)

05.12.2010, 21:04

alex2007

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Zitat:

Original von physi
Sorry hatte deinen letzten Beitrag noch nicht gelesen

was uns noch nicht ganz einleuchtet ist die Verwendung der euklidischen Metrik in (*)

wieso die verwende ich doch da garnicht! Ich folgere einfach nur aus der tatsache, dass a_n eine CF in (X,p) ist die Ungleichung, die gelten muss. dann sehe ich, dass die beiden summanden für m,n >n0 auch <epsilon sein müssen.

dann stelle ich in (*) diese bedingung für den 1. summanden dar. dieser bedeutet mathematisch gedeutet, das a_n gegen a_m konvergiert.

05.12.2010, 21:18

current

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Nunja, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist vollständig bezüglich $\begin{eqnarray*} \vert .\vert \end{eqnarray*}$ . Also existiert $\begin{eqnarray*} lim (a_n)=:a \end{eqnarray*}$ . Damit kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a\vert<\tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist. Das gleiche Spiel muss dann noch einmal für die "Brüche" getrieben werden.
Die Frage ist nun, wie man die $\begin{eqnarray*} \tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wählen muss, dass $\begin{eqnarray*} p(a_n,a) \end{eqnarray*}$ kleiner als ein Epsilon ist, was aber offensichtlich sein sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.12.2010, 21:38

alex2007

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Zitat:

Original von current
Nunja, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist vollständig bezüglich $\begin{eqnarray*} \vert .\vert \end{eqnarray*}$ . Also existiert $\begin{eqnarray*} lim (a_n)=:a \end{eqnarray*}$ . Damit kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a\vert<\tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist. Das gleiche Spiel muss dann noch einmal für die "Brüche" getrieben werden.
Die Frage ist nun, wie man die $\begin{eqnarray*} \tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wählen muss, dass $\begin{eqnarray*} p(a_n,a) \end{eqnarray*}$ kleiner als ein Epsilon ist, was aber offensichtlich sein sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ist mein beweis so nicht ausreichend? du zeigst doch sonst nochmal genau das, was ich ohnehin schon gezeigt habe. steh gerade auf dem schlauch.

und man muss das epsilon* so wählen, das es gleich epsilon/2 ist, das ist mir klar. aber dass was du damit zeigst, ist dass es ein n_0 gibt, für das die cauchyfolge gegen a konvergiert. was ich nicht gezeigt habe, dass der grenzwert in meinen metrischen Raum enthalten ist.

deswegen fande ich meine rechnung treffender. oder sehe ich das falsch?

05.12.2010, 21:45

current

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Ich würde es zumindest nicht so ausdrücken wie du. Dass eben $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen ein Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Ich denke, dass das Problem die Formulierung ist. Und dass du dir bei der ganzen Sache eben ein bisschen zuviel Arbeit machst, das ist alles.
Also eben einfach: $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a\vert< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ , das gleiche noch einmal für $\begin{eqnarray*} \vert \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_m} \vert \end{eqnarray*}$ , und schon hat man $\begin{eqnarray*} p(.,.)<\epsilon \end{eqnarray*}$ , was ja die Behauptung ist.
Man begründet das eben damit, dass für die "Teilnormen", aus der sich p zusammensetzt, schon Vollständigkeit gilt.

05.12.2010, 21:58

alex2007

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Ja wie soll ich das jetzt aufschreiben? da liegt mein problem ehrlich gesagt. ich kann doch nicht einfach für a_m jetzt a einsetzen oder etwa doch?

ich meine, da a_n ja gegen a konvergiert. ist ab genügend großem n >n0 ja das folgeglied a_m immer näher an a. aber wie schreib ich jetzt den beweis auf?

ich hab ja am anfang vorrausgesetzt, dass a_n eine CF in X ist. woraus ich meine ungleichung erhalte.

wie mache ich da jetzt weiter?

soll ich da jetzt sagen, da R vollständig existiert der limes von a_n gleich a und dann für a_m eben a einsetzen und die ungleichungen ausrechenen?

mir wäre es am liebsten du zitierst meinen beweis und änderst ihn so ab, wie du es aufschreiben würdest. ich hab ja verstanden, was du willst und den beweis auch verstanden, aber weis nicht wie ich das jetzt aufschreiben soll.

danke

05.12.2010, 22:12

current

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Nun, zum detaillierten Aufschreiben bin ich zu faul, aber es geht ungefähr so:
Sei $\begin{eqnarray*} \left\{a_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Das heißt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ blablabla, sodass $\begin{eqnarray*} p(a_n,a_m)<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Gut. Insbesondere folgt daraus aber auch: $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a_m\vert <\epsilon \end{eqnarray*}$ . Daher ist die gegebene Folge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Weiterhin weiß man ja, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vollständig ist. Also existiert ein $\begin{eqnarray*} a:=lim(a_n) \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Dann existiert für $\begin{eqnarray*} \tilde{\epsilon}=\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \vert a_n-a\vert<\tilde{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .
Das ganze noch einmal für den zweiten Summanden und dann bekommt man - da wir ja wissen, dass zu den einzelnen Metriken Grenzwerte existieren - $\begin{eqnarray*} p(a_n,a)=...<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Fertig.

05.12.2010, 22:18

alex2007

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Aso, jetzt habe ich verstanden wie du das meinst. Du schlussfolgerst, dass die Cauchyfolge in X auf Grund des ersten Summanden auch eine Cauchyfolge in R sein muss. Und am Ende zeigst du, dass unsere GrenzwertBedingungen immernoch die Cauchybedingung für unsere Metrik erfüllen, somit liegt der Grenzwert im metrischen Raum. Dass macht das ganze einleuchtend. In der tat hast du recht, dass meine Formulierung wohl einfach, naja unmathematisch war, obwohl ich das richtige meinte.

Danke nochmal für die Unterstützung, denke habe es verstanden.

05.12.2010, 22:29

current

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Ja, so kann man es sagen. Und eben das gleiche Argument für den zweiten Summanden. Geht ja alles, der gegebene metrische Raum schließt ja die Null aus.
Dann einen netten Abend noch.

05.12.2010, 23:00

alex2007

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Mal noch ne ganz dumme Frage. Wie zeigt man bei a), dass die dreiecksungleichung gilt?

05.12.2010, 23:11

chalo10

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Zu zeigen: p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y)
Beweis: p(x,y)=lx-yl+l1/x-1/yl=lx-z+z-yl+l1/x-1/z+1/z-1/yl<=lx-zl+l1/x-1/zl+ly-zl+l1/y-1/zl=p(x,z)+p(y,z)
Noch eine Anmerkung zu drei in deinem ersten Beitrag: Da reicht die erste Zeile, der untere Implikationsteil ist quatsch.

18.12.2013, 11:24

Zwodrofonf

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Zitat:

Ja, so kann man es sagen. Und eben das gleiche Argument für den zweiten Summanden. Geht ja alles, der gegebene metrische Raum schließt ja die Null aus.
Dann einen netten Abend noch.

Tut mir leid, das wieder vorzukramen. Aber wir hatten die gleiche Aufgabe dieses Jahr und ich konnte sie nicht lösen. Habe jetzt diesen Thread gefunden, kann aber nicht nachvollziehen, wie das gehen soll.

Der erste Summand ist auch eine Metrik in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , allerdings gilt das nicht für den zweiten, da die 0 nicht als Argumente geht. Wie zeigt man nun, dass der Grenzwert in X liegt?

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