[Karpfinger/Meyberg] Normalteiler 4.7 (*)

29.11.2010, 19:29

tigerbine

[Karpfinger/Meyberg] Normalteiler 4.7 (*)

Besitzt eine Gruppe G genau eine Untergruppe U der Ordnung k, so ist U Normalteiler in G.

Meine Ideen:

Hier fehlt mir der Sätzefundus. Sollte ich die Umkehrung zeigen, also für nicht NT gibt es weitere Untergruppen (konstruktiv) oder wie setzt man da da.

29.11.2010, 19:49

m-power

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Hallo,

du brauchst dazu keinen großen Sätzefundus, denn diese Aussage kann man sehr einfach und straight-forward (ohne Widerspruch) beweisen, wenn man für ein $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ die Untergruppe $\begin{eqnarray*} W:=g U g^{-1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ betrachtet. Wie viele Elemente hat $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ?

MFG
m-power

29.11.2010, 20:01

tigerbine

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Nicht mehr als U. Also entweder weniger oder W=U.

29.11.2010, 20:12

m-power

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Es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} |W|=|U|=k \end{eqnarray*}$ .
Jetzt fehlen noch zwei kleine Schritte und du bist schon fertig.

Tipp: Was folgt aus der Gleichmächtigkeit von W und U und spielt es eine Rollte, wie g gewählt wird?

29.11.2010, 20:18

tigerbine

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Zitat:

Original von m-power
Es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} |W|=|U|=k \end{eqnarray*}$ .

Das irritiert mich. Äquivalent zur Normalteilereigenschaft ist:

$\begin{eqnarray*} gNg^{-1} \subseteq N~\forall g \in G \end{eqnarray*}$ (*)

Wenn nun immer die Gleichmächtigkeit gilt, warum dann in (*) nur Untergruppe von N. verwirrt

edit:
Es wäre W dann das Bild des Konjugationautomorphismus von U nach U. Für g aus U ist dann |W|=|U| klar.

Ich könnte die Abbildung aber auch über G betrachten. Da sie bijektiv ist, muss sie auch auf einer eingeschränkten "Defmenge" bijektiv sein. Das Bild, W, ist also gleichmächtig zu U.

Weil U die einzige UG dieser Ordnung ist, gilt W=U und mit (*) ist dann auch die Normalteilereigenschaft nachgewiesen.

29.11.2010, 20:45

m-power

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Die Gleichmächtigkeit von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g U g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt immer, auch wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nur eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist. Wenn dir $\begin{eqnarray*} |U|=|W| \end{eqnarray*}$ nicht klar ist, so beweise kurz die Bijektivität der natürlichen Abbildung $\begin{eqnarray*} f : U \to W. \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 21:11

tigerbine

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Was meinst du mit der "natürlichen" Abbildung?

$\begin{eqnarray*} u \mapsto gug^{-1} \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 21:14

m-power

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Ja, genau. Einfach Injektivität und Surjektivität nachweisen.

29.11.2010, 22:03

tigerbine

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Ok. Also surjektiv, da W ja gerade das Bild dieser abbildung ist. Bleibt injektiv:

$\begin{eqnarray*} gu_1g^{-1}=gu_2g^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^{-1}gu_1g^{-1}g=g^{-1}gu_2g^{-1}g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1=u_2 \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 22:12

m-power

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Korrekt.

Der Rest ist dir dann klar, oder?

29.11.2010, 22:36

tigerbine

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Ich könnte die Abbildung auch als Abbildung nach G auffassen. Da es sich um eine Homomorphismus handelt, ist W eine Untergruppe von G. Wegen der Ordnung muss W aber U sein. Es war g beliebig gewählt aus G. Somit gilt für alle g aus G $\begin{eqnarray*} gUg^{-1}=U \end{eqnarray*}$ und damit ist U Normalteiler.

29.11.2010, 23:03

m-power

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Zitat:

Original von tigerbine
Ich könnte die Abbildung auch als Abbildung nach G auffassen. Da es sich um eine Homomorphismus handelt, ist W eine Untergruppe von G. Wegen der Ordnung muss W aber U sein. Es war g beliebig gewählt aus G. Somit gilt für alle g aus G $\begin{eqnarray*} gUg^{-1}=U \end{eqnarray*}$ und damit ist U Normalteiler.

Das kann man a priori nicht schlussfolgern. Entweder du darfst benutzen, dass U eine Untergruppe von G ist, weil das bereits in der Vorlesung bewiesen wurde (bzw. in dem Buch) oder du musst die Axiome einer Untergruppe bezogen auf U kurz nachrechnen.

29.11.2010, 23:05

tigerbine

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U war doch als Untergruppe gegeben. Meinst du W? Homomorphismen waren schon dran (im Buch).

29.11.2010, 23:16

m-power

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Ich hab das, was du vorhin geschrieben hast, irgendwie missverstanden. Sorry. Ja, du kannst schlussfolgern, dass W eine Untergruppe von G ist. Der Rest stimmt auch. Damit ist die Aufgabe erledigt.

29.11.2010, 23:17

tigerbine

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Dankeschöööööööööön.

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