K ist Körper, V ein K-VR und M Teilmenge: Lin. Abh. von M

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Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »
K ist Körper, V ein K-VR und M Teilmenge: Lin. Abh. von M
Hallo liebe Helfer!

Ich habe folgendes Problem:

Ich soll zeigen, dass M genau dann lin. unabh. ist, wenn gilt:



Dabei ist: K ein Körper, V ein K-VR und M = eine Teilmenge mit .

Meine Ideen sind leider SEHR bescheiden!

Ich weiß nur:
(allgemein) ist linear unabhängig wenn die triviale Darstellung von die einzige Lin.kombi ist, die 0 darstellt.

Nun versuche ich i-wie auf die Aufgabe einzugehen:



Weiter im Text:
´
ich würde die Mengen gerne zusammenfassen, doch ich weiß nicht wie! unglücklich

Ich habe i-wie das Gefühle mein Anstz ist doof. Kann mir bitte Jmd. ein wenig auf den richtigen Weg bringen.....


Danke schon mal!

Edit (jester.): Latex-Fehler behoben
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn keiner helfen??? unglücklich
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte bitte
Zitat:
Doppelpostings, die nur dazu dienen, ein Thema schon nach kurzer Zeit "in Erinnerung zu rufen" und nach oben zu pushen. Ein bisschen Geduld muss man als Fragesteller schon aufbringen.

aus dem Prinzip "Mathe online verstehen!"

Alle Helfer sind hier freiwillig und wenn jemand helfen möchte wird er das tun. Üblicherweise bleibt hier auch kein Beitrag lange unbeantwortet, aber ein bisschen Geduld musst du schon mitbringen.

Schonmal ein Tipp zu der Richtung linear unabhängig : Sei . Dann liegt insbesondere in beiden Erzeugnissen und du findest also zwei Darstellungen von v. Durch die Rechenoperation findest du so auch eine Darstellung für den Nullvektor. An dieser Stelle kannst du dann die lineare Unabhängigkeit ins Spiel bringen.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr für die Hilfe! smile

Und: Tut mir sehr Leid, dass ich innerhalb kurzer Zeit wieder um Hilfe gebeten habe... Ab jetzt tu ich das nicht mehr! smile


Nur leider hilft mir dieser Tipp nicht so.
Er hat mir nur geholfen zu verstehen, oder einzusehen, dass V aus 2 Mengen besteht.....

Aber ich versuche es mal anzuwenden:



Und jetzt? ...Bestimmt habe ich es wieder falsch verstanden... unglücklich
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Und da ist, kann v_{i} nicht = 0 sein!!!!
Also muss es - was von vorne rein quais klar war - ein a_{i} geben, welches = 0 ist!



Also musste ich jetzt zeigen:



Dann:
Da lin. unabh.

Ist es das denn okay?
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielleicht darf ich mich mal mit einschalten- auf die Gefahr hin, dass das alles Quatsch ist, was ich schreib... ich bin nämlich auch noch mit der Aufgabe zugange...

Also ich würde dann jetzt sagen:

dann gilt insbesondere:
und
also
I
II

III v-v=0

So, dann würde ich jetzt in III einsetzen:
- =0

wobei ich mir gerad spätestens beim letzten Schritt sehr unsicher werd, ob ich das überhaupt so machen kann (beide Summen = v setzen....)

Naja, also dann wäre noch v_{i} ungleich 0 und damit müsste evtl lamda=0 sein- und damit wäre das ganze linear unabhängig- aber die Ideen sind noch nicht so ausgereift

Erstmal wäre meine Frage:
ist das denn irgendwie ansatzweise überhaupt was Richtiges, was ich da mache- oder kompletter Blödsinn?!
(Wenn's kompletter Quatsch ist- sorry für die Störung- und ich halt besser meine Klappe! :p )
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte eigentlich folgendermaßen aussehen:


- =0
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein- mir ist noch eine Panne unterlaufen!

II =

So....
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe hier bisher nichts, was gut nachvollziehbar ist. Das ist mir auch letztes Semester als LA-Tutor aufgefallen: Viele Leute hatten wohl die richtigen Ideen, konnten sie aber nicht verständlich notieren.

Also: Wir haben als Voraussetzung linear unabhängig und wollen zeigen, dass für jedes gilt .

Also nehmen wir an wir haben ein mit und möchten dann zeigen .

Aus bekommen wir zwei Darstellungen für :
1)
2) .

Daraus folgt . Jetzt könnt ihr aber sicherlich die Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit anbringen.

Für die andere Richtung kann man zum Beispiel einen Widerspruchsbeweis machen: Nehmt an ist linear abhängig (unter der Voraussetzung für jedes gilt ). Es gibt also Koeffizienten , nicht alle Null, sodass . Nehmt ohne Einschränkung an, dass (warum geht das?) und folgert daraus, dass , was einen Widerspruch liefern sollte.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dankeschön, soweit! Augenzwinkern

Naja, aber ansatzweise hatte ich das doch so geschrieben oder nicht? Wo lag denn das Problem- dass ich nicht in dieses wie ich sagen muss- doch viel hübschere (und hilfreichere) Gebilde als meins- umgeformt hab?


...ich weiß, mir ist auch beim Berichtigen nochmal ein Fehler unterlaufen- das sollte natürlich 0 = v-v heißen (und nicht v=v-v)...

...und dass ich 10000-mal berichtigen musste war natürlich auch nicht besonders glücklich, aber lies sich dann hier nicht mehr anders retten....

naja, wie dem auch sei...
damit M linear unabhängig wäre, dürfte es nur die triviale Lösung geben, also (für alle k) =0 sein, stimmts?
Und das ist deshalb der Fall, weil v_{k} ungleich 0 ist, (da gegeben ist: 0 ist nicht Element von M).
Also wäre damit die Richtung meiner Meinung nach bewiesen! (?)

Und die andere Richtung muss ich noch ausprobieren!
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Tja... für die Gegenrichtung (lin. unabhängig --> {0} ) würde ich ja jetzt folgendes sagen:


angenommen ist linear abhängig (unter der Voraussetzung für jedes gilt ).

Es gibt also Koeffizienten , nicht alle Null, sodass .

sei also

=

warum geht das? Ja, da würde ich jetzt nur sagen- das ginge, wenn v = 0 sein dürfte...

also laut obiger Gleichung müsste sein, was einen Widerspruch darstellt zu . Denn mit wäre


Stimmt das so?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend ist, sich zu überlegen, warum und nicht Null sind. Dann stelle nach um. Ich glaube noch mehr Tipps kann man aber nicht mehr geben, ohne die Aufgabe zu lösen.

Noch kurz zu der ersten Richtung, dort hast du gefolgert, dass alle sind. Das kannst du wieder in deine Darstellung von einsetzen und erhältst dann, dass ist und bist in der Tat fertig.
Potzfritz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,... ich habe gerade festgestellt- bei meinem letzten Post war ich ja glaub ich total durch den Wind- und hab Sachen gezeigt, die ich gar nicht zeigen wollte - und eigentlich auch nicht konnte...... oder?! (Es ist schon spääät...)

Also jetzt neu:

Ich stelle nach um!
Und erhalte:


nun habe ich ja festgesetzt (zwecks lin. Abhängigkeit....) dass und
--> und wenn man eine Zahl durch eine Zahl teilt, dann kommt immer eine Zahl raus
==> also muss auch sein!

Dann wäre aber eben
, was einen Widerspruch zu unserer Vorgabe darstellt!

So, jetzt erscheint es mir logisch...?!
Stimmts auch?

Vielen, vielen Dank für die viele Geduld + Hilfe!! smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so hatte ich mir das überlegt.
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