3D-Funktion Integrieren

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19.06.2004, 09:47	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
3D-Funktion Integrieren Gestern kam mir vorm Fernseher eine Idee wie man 3D-Funktione integrieren kann. Da hab ich gleich mal den Raum unter der Funktion z(x,y)=x*y im intervall 0<x<5 , 0<y<5 berechnet. Heraus kam 156,5. Wer kann mir das bestätigen.
19.06.2004, 13:05	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erhalte 156,25 als Ergebnis. Wie hast du denn das Volumen unter der Funktion bestimmt?
19.06.2004, 17:18	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} z(x,y)=xy ......0 \leq y \leq 5...0 \leq x \leq 5 \end{align}$ $\begin{align} \Bigint_{0}^5~yx~dx = 1/25^2y \end{align}$ $\begin{align} \Bigint_{0}^5~1/25^2y~dy = 5^25^21/4 \end{align*}$
19.06.2004, 17:34	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fäche dieser Funktion hat nach meiner Rechnung 69,5. Ist das auch Richtig?
19.06.2004, 21:56	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste Integral nach x hast du richtig ausgerechnet. Bei zweiten Integral ist dir aber ein Tippfehler unterlaufen. Das Integral ist 5^2 * 5^2 * 1/4. Ich hab beim Oberflächenintegral was anderes raus. Was hast du denn gerechnet?
20.06.2004, 10:01	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \Bigint_{0}^5~ \sqrt{1+x^2} ~dy = 5 \sqrt{1+x^2} \end{align}$ $\begin{align} \Bigint_{0}^5~ 5* \sqrt{1+x^2} ~dx = 5(5/2 \sqrt{1+5^2}+1/2arsinh(5)) = 69,51883977... \end{align}$ Hab mir schon gedacht dass es nicht so einfach geht.
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20.06.2004, 14:42	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee leider nicht. Das siehst du z.B. an den beiden Funktionen f(x,y) = x und g(x,y) = y Deren Oberfläche für 0 < x,y < 5 ist gleich, aber dein Ansatz liefert verschiedene Ergebnisse. So wie ich das sehe, integrierst du über die Bogenlänge in x-Richtung. Dabei vernachlässigst du aber den Anstieg in y-Richtung. Korrekt ist diese Formel: $\begin{align} F = \iint_A \sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dx\,dy \end{align}$ Die kann man sich plausibel machen, indem man die zu integrierende Fläche in kleine Rechtecke der Seitenlängen dx,dy unterteilt, und die Funktion in den Eckpunkten linear annähert. Dabei entsteht über einem Rechteck ein Parallelogramm, dessen Fläche du benötigst. (-> Norm des Vektorprodukts der beiden Seitenvektoren) Die Summe über all diese Parallelogramme ergibt eine Näherung der gesuchten Oberfläche. Eine Beschreibung findest zu z.B. hier: http://www.gnoerich.de/formelsammlung/k15.html Ganz unten ist die von mir genannte Formel angegeben. Bei deiner Funktion kommt aber leider kein schönes Ergebnis raus: Die Stammfunktion scheint nicht elementar zu sein, und numerisch ergibt sich 99,5678951...
20.06.2004, 18:27	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es für solche Aufgaben auch praktische Beispiele.
21.06.2004, 15:09	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Praktische Beispiele... Du könntest damit z.B. die Oberfläche einer Achtel-Kugel ausrechnen (und damit die Gesamtoberfläche). Ist allerdings etwas komplizierter, weil der Integrationsbereich kein Rechteck, sondern ein Viertel-Kreis ist. Die Integrationsgrenzen allein wären schon so kompliziert: $\begin{align} \bigint_0^R \bigint_0^{\sqrt{R^2-y^2}} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \,dx\,dy \end{align}$ Jetzt brauchst du noch die Höhe: $\begin{align} f(x,y) = \sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{align}$ . Hier geht's sicher leichter, wenn man dieses Integral in Polarkoordinaten umformt, dann hat man wieder ein "Polarkoordinaten-Rechteck": r=0...R, phi=0...pi/2. Andere Beispiele fallen mir gerade nicht ein Gruss, SirJective

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