Lösungsmenge eines Unterraums zeigen

29.11.2010, 22:44

Carnivora

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Lösungsmenge eines Unterraums zeigen

Meine Frage:
Hey Leute,
ich hab die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+3x_2-4x_3+5x_4=0 in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Gezeigt werden soll, dass die Lösungsmenge ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
ich hab es jetzt so verstanden, dass man alle unterraumkriterien durchgehen muss.
mit dem resten kriterium (nullvektor element des Unterraums) hab ich hinbekommen. Einfach in alle x die 0 einsetzten.
Bei den beiden anderen kriterien finde ich keinen brauchbaren ansatz. Oder bin ich auf dem total falschen weg?

29.11.2010, 22:52

Iorek

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Die Gleichung lässt sich interpretieren als Kern der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb R^4\rightarrow \mathbb R,~\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \mapsto x_1+3x_2-4x_3+5x_4 \end{eqnarray*}$ , damit wäre das ein Einzeiler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten kannst du auch die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} ~|~x_1+3x_2-4x_3+5x_4=0\right\}\subset\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ betrachten und dafür die Unterraumkriterien durchgehen, was du ja auch schon angefangen hast.

29.11.2010, 23:20

Carnivora

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ich versuch es ja gerade mit den kriterien....ich weiß halt nur nicht, wie ich mit ihnen zeigen soll dass es stimmt.
muss ich mir zu der vorgegebenen x-reihe auch noch eine gleiche mit der y koordinate vorstellen oder muss ich für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ irgendwelche koordinaten/zahlen nehmen, die als ergebnis dann null haben?

29.11.2010, 23:26

Iorek

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Du hast gezeigt, dass die Teilmenge nicht leer ist, dann kannst du dir jetzt zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ (hab die Teilmenge mal U genannt) nehmen und zeigen, dass dann auch die Summe $\begin{eqnarray*} x+y\in U \end{eqnarray*}$ liegt.

Da $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ liegen, weißt du auch schon etwas über die Einträge in den Vektoren.

30.11.2010, 06:15

Carnivora

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kann ich mir den einfach irgendwelche x,y nehmen? ich habe doch nur eine reine x gleichung?

30.11.2010, 07:58

Iorek

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Du nimmst dir zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix},~y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da diese in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen, kannst du etwas über die Einträge sagen (was müssen die Einträge erfüllen, damit die Vektoren in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen?). Bilde jetzt die Summe $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ , liegt die auch in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ?

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30.11.2010, 11:24

Carnivora

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wenn ich also für x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für y= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die summe der beiden ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ welcher in U liegt

30.11.2010, 11:29

klarsoweit

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OK. Jetzt mußt du das noch für die vielen Billionen von Vektoren machen, die auch noch in U liegen. Falls du nach 3 Stunden keine Lust mehr hast, dann nimmst du allgemeine Vektoren, so wie Iorek sie angegeben hat.

30.11.2010, 11:41

Carnivora

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für das dritte unterraumaxiom k*u in U gilt dann dass alle vielfache von x und y auch im unterraum liegen, oder?

30.11.2010, 11:43

Iorek

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Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt mußt du das noch für die vielen Billionen von Vektoren machen, die auch noch in U liegen.

Das ist aber eine recht grobe Abschätzung... Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Carnivora, bevor wir das dritte Kriterium überprüfen, sollten wir das zweite erstmal zu Ende machen. Bisher hast du die Abgeschlossenheit nur für zwei explizite Vektoren gezeigt, du musst das allgemein für alle Vektoren die in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen zeigen.

30.11.2010, 11:49

Carnivora

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ich weiß nur eben nicht wie ich das machen soll...kann ich den einfach sagen, dass alle vektoren des unterraums, deren summe die koordinate 0 enthalten element des unterraums sind?

30.11.2010, 11:51

Iorek

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Nein, die Vektoren dieser Teilmenge erfüllen die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+3x_2-4x_3+5x_4=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. nicht einfach nur die Summe der Koordinaten.

Und "einfach sagen" ist natürlich kein Beweis. geschockt

geschockt

Lies dir meinen vorletzten Beitrag nochmal durch und überleg dir eine Antwort auf die zwei Rückfragen, die ich dir da gestellt habe.

30.11.2010, 12:05

Carnivora

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ich würde das jetzt so verstehen, dass beide vektoren x,y an der gleichen koordinatenstelle 1,2,3, oder 4 Stelle die 0 haben müssen, damit die Summe der vektoren ein unterraum ist...das ist jetzt das, was mir zu den einträgen einfallen würde, weil sie sonst ja nicht mehr im unterraum wären

30.11.2010, 12:07

Iorek

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Warum müssen sie die 0 da stehen haben? Du hast doch schon andere Vektoren gefunden, die nicht "an der gleichen Koordinatenstelle die 0 haben".

Welche Bedingung müssen die Vektoren erfüllen, damit sie in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen (schau dir einfach die Definition der Menge an)?

30.11.2010, 12:11

Carnivora

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d.h. alle vektoren müssen in die Lösungsmenge eingesetzt (in dem fall) =0 ergeben und wenn dies der fall ist ergeben sie einen unterraum

30.11.2010, 12:19

Iorek

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Jetzt wirfst du verschiedene Sachen zusammen...

Die Lösungsmenge ist die Menge U, die Vektoren sind die Elemente dieser Menge und ihre Koeffizienten erfüllen die gegebene Gleichung!

Und nein, damit ist das noch lange kein Unterraum, bisher haben wir nur eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , du musst doch gerade zeigen, dass diese Teilmenge die Unterraumkriterien erfüllt.

30.11.2010, 12:35

Carnivora

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ja ich soll zeigen, dass die lösungsmenge ein unterraum ist und in den beispielen aus der vorlesung hab ich es halt immer nur so verstanden, dass die summe der beiden vektoren im unterraum liegt, wenn die koordinaten der summe in die gleichung eingesetzt das geforderte ergebnis haben.

30.11.2010, 12:41

Iorek

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Langsam geht es in die richtige Richtung.

Wir haben zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ , was für Bedingungen erfüllen diese Vektoren dann nach Definition der Menge? Schreib dir diese Bedingungen explizit auf.

Dann bilde die Summe $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ , was muss dann gelten, damit die Summe auch in der Menge liegt? Kannst du das mit den Voraussetzungen für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ zeigen?

30.11.2010, 14:51

Carnivora

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die definition der menge ist ja die zusammenfassung von elementen wohlunterschiedener objekte zu einem ganzen. Auf die vektoren übertragen bedeutet dies, dass wir zwei Vektoren(x,y) haben die in einem ganzen(Unterraum) liegen bzw. Elemente dieses sind.
Die Summe der Vektoren muss daher von x,y verschieden sein und darf nicht über die Menge hinausgehen, also wenn die Menge z.b. alle Elmente mit jeweils einer Null Koordinate beinhaltet darf die Summe nicht (1,1) oder (2,3) sein.

30.11.2010, 14:57

Iorek

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Und schon entfernen wir uns wieder... unglücklich

unglücklich

Was hast du mit deiner Nullkoordinate? Das ist hier überhaupt nicht gefragt!
Und als Summe hast du jetzt auf einmal Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , wie kommst du bitte darauf?

Damit das hier irgendwann mal auf die richtige Spur kommt: wir haben zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ , dann gilt nach Definition der Teilmenge, dass $\begin{eqnarray*} x_1+3x_2-4x_4+5x_4=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_1+3y_2-4y_4+5y_4=0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt bilde doch bitte einfach mal die Summe für die Vektoren $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ , wie sehen die Einträge dieses Vektors aus?

30.11.2010, 15:11

Carnivora

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das war nur ein beliebiges beispiel welches ich genommen habe um zu gucken ob ich überhaupt etwas verstanden habe...egal hab ein schlechte grundlage gewählt!
die summe wäre dann
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1+y_1+3(x_2+y_2)-4(x_3+y_3)+5(x_4+y_4)=0<br /> <br /> \Rightarrow (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4) \in U \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 15:13

Iorek

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Wieso folgt denn direkt, dass die Summe in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist? Eine Begründung, warum $\begin{eqnarray*} x_1+y_1+3(x_2+y_2)-4(x_3+y_3)+5(x_4+y_4)=0 \end{eqnarray*}$ ist, wäre angebracht.

30.11.2010, 15:26

Carnivora

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Meine Begrüngung resultiert jetzt aus der vorangehensweise bei der Addition von Vektoren und das ich glaube mich zu entsinnen, dass die vervielfachung nichts an dem Ergebnis verändert.

war das mit Begründung gemeint?

30.11.2010, 15:27

Iorek

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Nein, die Begründung ist viel trivialer.

Multiplizier die Klammern aus und vertausch ein klein wenig die Anordnung der Summanden, dann steht es quasi schon da.

30.11.2010, 15:36

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} x_1+y_1+3x_2+3y_2-4x_3-4y_3+5x_4+5y_4=0 \end{eqnarray*}$
und bei den summanden seh ich ehrlich gesagt nichts was mir weiterhelfen würde
vielleicht x_1+3x_2-4x_3=O aber das ist garantiert total daneben gegriffen

30.11.2010, 15:37

Iorek

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Total daneben gegriffen nicht, auf so etwas ähnliches wollte ich hinaus.

Sortier die Summanden so um, dass du zuerst alle x, dann die y da stehen hast, dann erinnere dich an das, was wir aus der Bedingung $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ wissen.

30.11.2010, 15:54

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} <br /> x_1+3x_2-4x_3+5x_4+y_1+3y_2-4y_3-5y_4=0 \end{eqnarray*}$
aus der bedingung wissen wir, dass beide in U liegen, daher auch deren summe?

30.11.2010, 15:58

Iorek

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Fast.

Damit $\begin{eqnarray*} x+y\in U \end{eqnarray*}$ gilt, muss die Gleichung die da steht richtig sein (es muss übrigens $\begin{eqnarray*} +5y_4 \end{eqnarray*}$ sein, Tippfehler), und mit der Voraussetzung mit der wir gestartet sind ist $\begin{eqnarray*} \underbrace{(x_1+3x_2-4x_3+5x_4)}_{=0}+\underbrace{(y_1+3y_2-4y_3+5y_4)}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$ .

30.11.2010, 16:09

Carnivora

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ok erstmal hab ich die addition für diesen fall verstanden
d.h. beim dritten axiom kann es auch so gemacht werden indem man sagt
k*(x_1+3x_2-4x_3+5x_4)=0
und da x_1+3x_2-4x_3+5x_4=0 ist und k*0=0 ist auch das dritte axiom bewiesen oder?

30.11.2010, 16:11

Iorek

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Ja, damit ist das dritte Kriterium auch erfüllt und die Menge insgesamt ein Unterraum. smile

smile

30.11.2010, 16:13

Carnivora

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DANKESCHÖN!!!!!
ich hoffe ich hab dich mit meiner unnwissenheit nicht zu sehr verzweifeln lassen. Freude

Freude

Mir fehlt halt jemand der mir das genauer erklären könnte Lehrer

Lehrer

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