Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum Abb(R,R)

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30.11.2010, 15:50	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum Abb(R,R) Meine Frage: Ist im Vektorraum Abb( $\begin{eqnarray} \mathbb R, \mathbb R \end{eqnarray}$ ) Das Tripel (f1,f2,f3) mit f1(t)=1, f2(t)=t, f3(t)=\|t\| linear unabhängig? Meine Ideen: Lineare Unabhängigkeit bedeutet ja, dass mit $\begin{eqnarray} \lambda _{1} f1(t) + \lambda _{2} f2(t) + \lambda _{2} f3(t) = 0<br /> folgen muss, dass \lambda _{1} = \lambda _{2} = \lambda _{3} = 0. \end{eqnarray}$ reicht es zu sagen dass dann das oben genannte tripel linear unabhängig ist, wenn $\begin{eqnarray} t \neq 0 \end{eqnarray}$ , da dann $\begin{eqnarray} \lambda _{1} = \lambda _{2} = \lambda _{3} = 0 \end{eqnarray}$ sein müssen? Ansonsten wäre das Tripel ja nicht linear unabhängig. Danke im Vorraus für eure Antworten
30.11.2010, 15:55	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn t = 1 ist, dann haben wir $\begin{eqnarray} \lambda_1 1 + \lambda_2 * 1 + \lambda_3 * 1 = 0 \end{eqnarray}$ und da gibs natürlich nicht triviale Lösungen für Lambda. Also einfach t != 0 hinschreiben reicht nicht. Wichtig ist, das die Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda_1 * 1 + \lambda_2t + \lambda_3 \|t\| \end{eqnarray*}$ für alle (!) t gelten muss. Die Lambdas ändern sich nicht, wenn Du ein Lambda für ein bestimmtes t kennst, muss es für alle t so sein. Was passiert etwa, wenn t = 0 ist ?
30.11.2010, 16:12	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
ist einleuchtend, habe so eine ähnliche aufgabe. d.h. beweisführung über induktion wäre okay, right?
30.11.2010, 16:28	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
so wie ich dich verstehe würde dann ein gegenbeispiel mit t=0 genügen, um zu zeigen, dass (f1,f2,f3) nicht linear unabhängig sind, da $\begin{eqnarray} \lambda _{1} 1 + \lambda _{2} * 0 + \lambda _{3} * \|0\| = 0 \end{eqnarray}$ nicht bedeutet, dass $\begin{eqnarray} \lambda _{2} und \lambda _{3} = 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen.
01.12.2010, 14:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist so nicht richtig. Die drei Funktion sind (!) linear unabhängig. Du hast meinen Hinweis nicht richtig verstanden. Die lineare Unabhängigkeit muss für alle t gelten. Die Lambdas ändern sich nicht. Wenn wir bestimmte t's finden, so dass für diese t die drei Faktoren null sein müssen, dann sind die Funktionen linear unabhängig. Für t = 0 folgt , dass Lambda_1 = 0 sein muss. Damit wissen wir also, dass $\begin{eqnarray} 0 + \lambda_2 t + \lambda_3 \|t\| = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt müssen wir nur noch Folgern , dass auch Lambda_2 und Lambda_3 0 sein müssen. Wähle dafür t = 1 und t = -1.
01.12.2010, 15:14	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
mh ich steh aufm schlauch. wenn man t=1 einsetzt, dann gibt es ja wie du bereits erwähnt hast auch nicht triviale lösungen für lamba, sodass lamba_2 und lambda_3 nicht unbedingt = 0 sein müssen, um die gleichung zu erfüllen oder?
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01.12.2010, 15:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest ja mal das lineare Gleichungssystem betrachten, dass entsteht, wenn Du t =1 und t = -1 hast.
01.12.2010, 15:25	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, wenn ich t=0, t=1 und t=-1 einsetze und daraus ein LGS mache, folgt für lambda1 lambda2 lambda3 = 0. Das würde also genügen? danke schonmal
01.12.2010, 15:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Fall t = 0 betrachtest Du gesondert. Denn dieser Fall liefert dir schon , dass Lambda_1 = 0 sein muss. Und mit t = 1 und t = -1 erhältst Du dann (wenn Du bereits weisst das Lambda_1 = 0 ist) ein Gleichungssystem, dass nur die Nulllösung (für lamdba_2 und lambda_3) hat.
01.12.2010, 15:29	MatheCons	Auf diesen Beitrag antworten »
danke blicke jetzt durch.

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