Bestimme z²=i

30.11.2010, 16:39

Knanu

Bestimme z²=i

Hallo,

ich benötige unbedingt Hilfe. Irgendwie kann ich mich nicht mit den komplexen Zahlen anfreunden...

Bestimme alle z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C mit z²=i

ich weiß, dass i=-1 ist

also z²=-1

Wie geht es denn jetzt weiter?

30.11.2010, 16:42

xy (Gast)

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Versuche die Aufgabe in Polarkoordinaten zu lösen!

30.11.2010, 16:43

Airblader

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Wie bezeichnet ihr die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen?

air

30.11.2010, 16:46

lgrizu

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RE: Bestimme z²=i

Zitat:

Original von Knanu
ich weiß, dass i=-1 ist

also z²=-1

Wie geht es denn jetzt weiter?

Wie kommst du denn darauf, dass i=-1 ist?

Es ist vielmehr i²=-1.

Nun gibt es verschiedene Lösungsansätze, der meines Erachtens eleganteste führt über die Exponentialdarstellung ans Ziel.

01.12.2010, 19:22

Knanu

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Ich habe jetzt im Skript folgendes gefunden:

z²=1+i

Zerlegt man z=x+iy in Realteil und Imaginärteil so erhält man

z²=x²-y²+2ixy

x²-y²=1, 2xy=1

So bei der Aufgabe ist ja z²=i, also ist z=yi ->z²=iy²=-y

Passt das so? Wenn nicht dann helft mir bitte weiter, die Exponentialdarstellung haben wir noch nicht kennen gelernt.

lg Sabine

01.12.2010, 19:33

baphomet

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Wenn ihr die Polarkoordinaten und Exponentialform noch nicht hattet, dann kann
man die Quadratwurzel Komplexer Zahlen in Kartesischer Form wie folgt lösen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[]{x\pm yi}=\pm\left( \sqrt{ \frac{\sqrt[]{x^2+y^2}+x}{2}}\pm i\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{x^2+y^2}-x}{2}}\right) \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel fällt x unter den Tisch und dadurch vereinfacht sich dein
Ausdruck zu:

$\begin{eqnarray*} \pm\left( \sqrt{ \frac{y}{2}}+i\sqrt[]{\frac{y}{2}}\right) \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 22:53

mYthos

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@baphomet

Zeige bitte Knanu lieber den Weg, dies durchzurechnen, anstatt eine wilde Formel hinzuwerfen, die sich sowieso kein Mensch merken kann.

Diese Rechnung wird mittels eines Vergleiches von Real- und Imaginärteil durchgeführt:
Die gesuchte komplexe Zahl z wird so gesetzt:

$\begin{eqnarray*} z = x + iy \ \text{mit} \ x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - y^2 = 0 \ \text{und} \ 2xy = 1 \end{eqnarray*}$

Nach x, y lösen .. (2 Lösungen)

mY+

02.12.2010, 19:04

Knanu

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2xy=1
y= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

das habe ich dann in

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{2x} =0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{2x} =0 |(2x) 2x^{3}-1=0 x^{3}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

das passt doch nicht...

02.12.2010, 20:20

lgrizu

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Das ist auch falsch, zuerst einmal sollst du das Gleichungsystem:

$\begin{eqnarray*} I~2xy=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II~x^2-y^2=0 \end{eqnarray*}$ lösen.

Nun hast du richtig aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} 2xy=1 \Rightarrow y=\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Nun musst du dies in II einsetzen, und da hast du irgendwie Mist gemacht, du hast nicht quadriert und addiert statt subtrahiert.

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