Linearkombination von Vektoren

30.11.2010, 16:48

tkthirdteen

Linearkombination von Vektoren

Meine Frage:
Im Standartvektorraum V = Q^3 über Q seien die folgenden Vektoren gegeben:

V1 (2,1,0) , V2 (3,2,0) , V3 (5,2,1)

a) Stellen Sie die Vektoren e1 (1,0,0) , e2 (0,1,0) und e3 (0,0,1) als Linearkombination der Vektoren V1, V2, V3 dar.

b) Zeigen Sie, dass ( V1, V2, V3) eine Basis von V ist.

Meine Ideen:
Meine Lösung zu a)

V1 = 2*e1 + 1*e2 + 0*e3
V2 = 3*e1 + 2*e2 + 0*e3
V3 = 5*e1 + 2*e2 + 1*e3

Meine Frage zu a:
Muss ich das noch ausrechnen oder ist das jetzt schon die Lösung?

Meine Lösung zu b)
Durch die Linearkombination habe ich ja eine Abbildung erzeugt.

Q^3 = Q -> Q

Die Identität und eine Bijektion sind ja damit gezeigt. Daher ist ja (V1, V2, V3) eine Basis von Q, die Standartbasis.

Meine Frage zu b:
Reicht das als Antwort für "zeigen Sie" oder muss das ein richtiger Beweis sein und wenn ja wie muss ich denn daran gehen?

LG Tina smile

30.11.2010, 17:42

LoBi

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Eine Linearkombination ist keine Abbildung.
Du musst zeigen das du jeden Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^3 \end{eqnarray*}$ als LK von $\begin{eqnarray*} (V1,V2,V3) \end{eqnarray*}$ darstellen kannst, und das die LK des Nullvektor nur die triviale Lösung hat.

30.11.2010, 19:52

tkthirdteen

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Also meine Lösungen für a) sehen folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: a=2, b=1, c=0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a=3, b=2, c=0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a=5, b=2, c=1

sowie mit dem Nullvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a=0, b=0, c=0

Die ersten 3 Matrizen sind damit also meine Linearkombination?
Gehört die Lösung mit dem Nullvektor zu a oder zu b?

LG

30.11.2010, 20:43

tkthirdteen

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Aber wenn das Ergebnis keine Abbildung ist, dann habe ich noch eine Frage:

Folgendes haben wir in der Uni aufgeschrieben:

- (v1, ... , vn) ist ein Erzeugendensystem von V --> dann ist die Abbildung surjektiv

- (v1 , ... , vn) ist linear unabhängig --> dann ist die Abbildung injektiv

- (v1 , ... , vn) ist eine Basis von V --> dann ist die Abbildung bijektiv

Wenn das Ergebnis keine Abbildung ist, wie soll ich denn dann zeigen, dass es eine Basis ist / d.h. bijektiv?

30.11.2010, 21:38

LoBi

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Da wurde doch vorher nochwas definiert? Sowas wie V-->K?

zu a)

Zitat:

V1 = 2*e1 + 1*e2 + 0*e3
V2 = 3*e1 + 2*e2 + 0*e3
V3 = 5*e1 + 2*e2 + 1*e3

Das sind deine Linearkombinationen.

zu b)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ersetze hier die ersten 3 Vektoren durch deine v1,v2,v3.
Du willst ja überprüfen ob v1,v2,v3 linear unabhängig sind.
Hattet ihr den Dimensionbegriff schon ? wenn ja bist du fertig denn es ist ja $\begin{eqnarray*} dim \mathbb Q^3=3 \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 22:03

tkthirdteen

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Ok super ... danke smile

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